Si tenemos un espacio vectorial normado X et xn→x débilmente, entonces está claro cómo mostrar que hay una secuencia yn→x fuertemente (como el cierre débil y el cierre fuerte de un conjunto convexo coinciden, basta con considerar el cierre del casco convexo de la secuencia).
Me gustaría saber cómo demostrar la segunda mitad del lema, es decir, que se puede elegir el yn para estar dentro del casco convexo de {x1,x2,..,xn} . ¿Por qué?
La forma en que yo lo haría es notar que conv{xn}n∈N=∞⋃k=1conv{x1,…,xk}, y entonces, por supuesto, los cierres son iguales. Como x∈¯∞⋃k=1conv{x1,…,xk}, tenemos 0=limn→∞dist(x,n⋃k=1conv{x1,…,xk})=limn→∞dist(x,conv{x1,…,xn}) (los números dentro del límite forman una secuencia decreciente de números no negativos con límite inferior igual a cero). Así que podemos elegir una secuencia {yn} con yn∈conv{x1,…,xn} et limn→∞‖x−yn‖=0 .
Realmente querías decir limn→∞dist(x,⋃nk=1{x1,…,xk})=0 o se suponía que era limn→∞dist(x,⋃nk=1conv{x1,…,xk})=0 ?
Es una prueba muy bonita. Sin embargo, me gustaría preguntarle por qué "los números dentro del límite forman una secuencia decreciente de números no negativos con límite inferior igual a cero".
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