Si tenemos un espacio vectorial normado $X$ et $x_n \to x$ débilmente, entonces está claro cómo mostrar que hay una secuencia $y_n \to x$ fuertemente (como el cierre débil y el cierre fuerte de un conjunto convexo coinciden, basta con considerar el cierre del casco convexo de la secuencia).
Me gustaría saber cómo demostrar la segunda mitad del lema, es decir, que se puede elegir el $y_n$ para estar dentro del casco convexo de $\lbrace x_1,x_2,..,x_n \rbrace$ . ¿Por qué?
La forma en que yo lo haría es notar que $$ \text{conv}\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}=\bigcup_{k=1}^\infty\text{conv}\{x_1,\ldots,x_k\}, $$ y entonces, por supuesto, los cierres son iguales. Como $$ x\in\overline{\bigcup_{k=1}^\infty\text{conv}\{x_1,\ldots,x_k\}}, $$ tenemos $$0=\lim_{n\to\infty}\text{dist}(x,\bigcup_{k=1}^n\text{conv}\{x_1,\ldots,x_k\})=\lim_{n\to\infty}\text{dist}(x,\text{conv}\{x_1,\ldots,x_n\}) $$ (los números dentro del límite forman una secuencia decreciente de números no negativos con límite inferior igual a cero). Así que podemos elegir una secuencia $\{y_n\}$ con $y_n\in\text{conv}\{x_1,\ldots,x_n\}$ et $\lim_{n\to\infty}\|x-y_n\|=0$ .
Realmente querías decir $\lim_{n\to\infty}\text{dist}(x,\bigcup_{k=1}^n\{x_1,\ldots,x_k\})=0$ o se suponía que era $\lim_{n\to\infty}\text{dist}(x,\bigcup_{k=1}^n\text{conv}\{x_1,\ldots,x_k\})=0$ ?
Es una prueba muy bonita. Sin embargo, me gustaría preguntarle por qué "los números dentro del límite forman una secuencia decreciente de números no negativos con límite inferior igual a cero".
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