La siguiente es una lista de problemas a partir de un examen de admisión al Tel. D programa. Yo sólo he recopilado todas las preguntas anteriores sobre la convergencia uniforme de la secuencia de funciones y traté de trabajar . Yo estaría muy agradecido si alguien puede comprobar las soluciones y por favor, sugiera si hay alguna forma mejor de hacer y si la solución es incorrecta, por favor hágamelo saber qué se podía hacer por ellos.
$f_n(x)=\sin^n x$ $[0,\frac{\pi}{2}]$
$f_n(x) = \frac{x^n}{n}+1$ $[0,1)$
$f_n(x) = \dfrac{1}{1+(x-n)^2}$ $(-∞,0)$
$f_n(x) = \dfrac{1}{1+(x-n)^2}$ $(0, ∞)$
$f_n(x) = nxe^{−nx}$ $(0,∞)$
$f_n(x) = x^n$ $[0, 1]$
$f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$ $\mathbb{R}$
$f_n(x)=\dfrac{nx}{1 + nx}$ $(0,1)$
$f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$ ; $[0, 2]$
$f_n(x)=n^2x^2e^{-nx}$ $(0,\infty)$
$f_n(x)=(\cos (\pi n!x))^{2n}$ $[0,1]$
$f_n(x)=n^2x(1-x^2)^n$ $[0,1]$
Me gustaría explicar lo que todos los que he probado y si hay alguna manera mejor de hacer por favor hágamelo saber.
- Para $f_n(x)=\sin^n x$ $[0,\frac{\pi}{2}]$ hacemos de la siguiente manera :
para $x=\frac{\pi}{2}$ tenemos $f_n(x)=1$ $x\in [0,\frac{\pi}{2})$ tenemos $f_n(x)=(a)^n$ donde$0\leq a <1$, $f_n(x) \rightarrow 0$ por cada $x\in [0,\frac{\pi}{2})$, por lo que el límite de la función es :
$$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,\frac{\pi}{2}) \\ 1, & x=\frac{\pi}{2}. \end{cases}$$
por lo que el límite de la función no es continua, de modo que la convergencia no es uniforme.
- Para $f_n(x) = \frac{x^n}{n}+1$ $[0,1)$ la función de límite de $f(x)=1$ .
Ahora $|f_n(x)-f(x)|=\frac{x^n}{n}$ deje $d_n =\sup \{ |f_n(x)-f(x)| : x\in [0,1) \}==\sup \{ \frac{x^n}{n} : x\in [0,1) \}$ pude ver que $d_n\rightarrow 0$ intuitivamente, pero no podía producir de forma completa la prueba.por favor me ayuda con eso.mantener esa brecha a un lado, como $d_n\rightarrow 0$ vemos que la convergencia es uniforme
Para $f_n(x) = \dfrac{1}{1+(x-n)^2}$ $(-∞,0)$ vemos que la función de límite de $f\equiv 0$ no veo ningún problema en que se detiene este de convergencia uniforme (consulte a continuación la solución, a lo que me refiero cuando digo que el problema) al mismo tiempo, no puedo decir que es uniforme convergente seguro.
Para $f_n(x) = \dfrac{1}{1+(x-n)^2}$ $(0, ∞)$ tenemos la función de límite de ser $f(x)\equiv 0$ pero entonces, $|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)|$ es igual a $1$$x=n$, por lo que la condición de $$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon \textbf { for all } x\in (0,\infty)$$ no se sostiene por lo que la convergencia no es uniforme.
Para $f_n(x) = nxe^{−nx}$ $(0,∞)$ tenemos $f_n(x)=\frac{nx}{e^{nx}}$.
Pero $e^{nx}$ diverge más rápido que el$nx$, por lo que la función de límite de $f\equiv 0$.
Pero, a continuación, en $x=\frac{1}{n}$ tenemos $f_n(x)=\frac{1}{e}$ así que no puedo decir que $|f_n(x)-f(x)|< \epsilon $ todos los $x$, y para todos los $n\geq N$ algunos $N$ si mi epsilon es menos de $\frac{1}{e}$, con lo que la convergencia No es uniforme.
Para $f_n(x) = x^n$ $[0, 1]$ vemos que la función de límite de $$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1) \\ 1, & x=1. \end{cases}$$ por lo que el límite de la función no es continua, de modo que la convergencia no es uniforme.
Para $f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$ $\mathbb{R}$ vemos que la función de límite de $f\equiv 0$. $|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)|=|\dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}|\leq\frac{1}{\sqrt{n}}$.
Ahora, para los que recibieron $\epsilon>0$ si elijo $N$ tal que $\frac{1}{\sqrt{N}}<\epsilon$, luego tenemos a $|f_n(x)-f(x)|\leq\frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon$ todos los $n\geq N$, independientemente de la elección de $x$. así, la convergencia es uniforme.
- Para $f_n(x)=\dfrac{nx}{1 + nx}$ $(0,1)$ tenemos $f_n(x)=\dfrac{1}{\frac{1}{nx}+1}$ el límite de la función es $1$.
Ahora $|f_n(x)-f(x)|=|\dfrac{nx}{1 + nx}-1|=|\frac{nx-1-nx}{1+nx}|=\frac{1}{1+nx}$
Ahora$0<x\Rightarrow 0<nx \Rightarrow 1<1+nx \Rightarrow \frac{1}{1+nx} < 1$, Pero luego no sé cómo proceder en el futuro...
Para$f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$ ; $[0, 2]$ vemos que $f_n(x)=0$ todos los $x\in [0,1)$ $x=1$ tenemos $f_n(x)=\frac{1}{2}$ $f_n(x)=1$ todos los $x\in[1,2]$, por lo que el límite de la función es : $$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1) \\ \frac{1}{2}, & x=1,\\ 1&x\in[1,2] \end{cases}$$ por lo que el límite de la función no es continua, de modo que la convergencia no es uniforme.
Para $f_n(x)=n^2x^2e^{-nx}$ $(0,\infty)$ tenemos $f_n(x)=\frac{n^2x^2}{e^{nx}}$.
Pero $e^{nx}$ diverge más rápido que el$n^2x^2$, por lo que la función de límite de $f\equiv 0$.
Pero, a continuación, en $x=\frac{1}{n}$ tenemos $f_n(x)=\frac{1}{e}$ así que no puedo decir que $|f_n(x)-f(x)|< \epsilon $ todos los $x$, y para todos los $n\geq N$ algunos $N$ si mi epsilon es menos de $\frac{1}{e}$, con lo que la convergencia No es uniforme.
Para $f_n(x)=(\cos (\pi n!x))^{2n}$ $[0,1]$ $x=0$ tenemos $f_n(x)=1$ $x\in(0,1]$ tenemos $f_n(x)\rightarrow 0$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x) = \begin{cases} 1, & x=0 \\ 0, & x\in(0,1]. \end{cases}$$ de modo que el límite de la función no es continua, de modo que la convergencia no es uniforme.
$For f_n(x)=n^2x(1-x^2)^n$ $[0,1]$ la función de límite de $f\equiv 0$ Ahora si considero $|f_n(x)-f(x)|=n^2x(1-x^2)^n$ considerando derivados he visto que el valor máximo se obtiene en$x^2=\frac{1}{2n+1}$, por lo que para la convergencia uniforme debemos asegurarnos $f_n(x)$ $x^2=\frac{1}{2n+1}$ $0$ pero, a continuación,$f_n(x)=\dfrac{n^2}{}\sqrt{2n+1}(\frac{2n}{2n+1})^n$, pero el límite no existe.
Así, la convergencia no es uniforme.
Gracias por sustitución de su valioso tiempo en la comprobación de mis soluciones. Una vez que alguien confirme que todo está bien y no hay modificaciones necesarias quisiera eliminar esta pregunta, así que por favor, puesto que sólo los comentarios.
Gracias :)
