Que los coeficientes del polinomio característico de la forma del operador son isométrica invariantes?

Question

Deje $M^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$ ser un isométricamente inmerso de Riemann hipersuperficie. La forma del operador $s$ $(1,1)$ tensor de campo que se caracteriza por $$\langle X, sY \rangle = \langle \text{II}(X,Y), N\rangle,$$ donde $X$, $Y$ son campos vectoriales, $\text{II}$ es la segunda forma fundamental, y $N$ es una unidad normal de campo vectorial. Podemos entonces definir la curvatura media y la curvatura Gaussianapor $$H = \frac{1}{n}\text{tr}(s), \ \ \ \ \ \ K = \det(s).$$

Gauss Theorema Egregium es la declaración de que $K$ es una isometría invariantes de la $M$ al $\mathbf{n = 2}$. Por el contrario, $H$ no lo es. Esto hace que me pregunte acerca de los siguientes:

Pregunta: Vamos a $p(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + a_0$ el valor del polinomio característico de la forma del operador $s$. Para $n > 2$, son alguno de los coeficientes $a_i$ (local) isometría invariantes de $M$? Si es así, ¿cuál?

De nuevo, una pregunta anterior de la mina estaba destinado a llegar a esto, pero mis pensamientos no eran tan claras.

Answer 1

Si $n>2$, a continuación, todos los coeficientes $a_m$ son isometría invariantes de genéricos $M$. Decir, es suficiente para suponer que el $M$ tiene curvatura positiva, pero como se verá mucho más débil que los supuestos pueden ser hechas.

Deje $e_i$ ser el principio de base y $\kappa_i$ ser principio de curvaturas. La curvatura del operador de $M$ tiene vectores propios $e_i\wedge e_j$ con autovalores $K_{ij}=\kappa_i\cdot\kappa_j$. Si $K_{ij}>0$$n>2$, usted puede recuperar los $\kappa_i$$K_{ij}$, dicen $$\kappa_i=\sqrt{\frac{K_{ij}\cdot K_{ik}}{K_{jk}}}.$$ Dado que los valores de $K_{ij}$ son isometría invariantes de $M$ así son todos los $\kappa_i$ y symmetrizing tenemos todos los $a_m$ (hasta firmar).

Acerca de otras condiciones: decir distinto de cero, la curvatura Gaussiana $G=\kappa_1\cdots\kappa_n$ les va tan bien, y la prueba es la misma. En particular, $|G|$ es invariante.

En el otro lado de la hyperplane $|H|=\mathrm{const}\cdot |a_1|$ no es invariante, por lo que debe asumir algo acerca de la curvatura en el punto.