Espectáculo $x-1$ es irreducible en a $\mathbb{Z}_8[x]$

Question

¿Cómo puedo demostrar que el polinomio $x-1$ es irreducible en a $\mathbb{Z}_8[x]$?

$\mathbb{Z}_8[x]$ no es una integral de dominio, así que no podemos usar grado consideraciones. He tratado de reducir el problema mod 2 a la conclusión de la factorización de $x-1$ debe ser de la forma $(1+a_1x+a_2x^2+...+a_mx^m)(1+b_1x+b_2x^2+...+b_nx^n)$ donde $a_i,b_i$ son incluso, con la excepción de $b_1$ es impar. También probé el uso de la inducción en los grados en $m,n$, pero fue en vano.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

EDIT: Sobre la prueba y el error que he descubierto $(2x^2-x-1)(4x^2-2x+1)=x-1$$\mathbb{Z}_8[x]$, sin embargo esto no refuta nada, porque no sabemos si el 2 polinomios de la izquierda son las unidades o no...

Answer 1

Aha, juntos tenemos las piezas necesarias! Has comentado (mirando modulo $2$) que cualquier factorización de $x-1$ $\Bbb Z_8[x]$ debe verse como $$ x-1 = (1-x+2f(x))(1+2g(x)). $$ Sin embargo, $1+2g(x)$ es una unidad, ya que su recíproco es $1-2g(x)+4g(x)^2$. Por lo tanto, $x-1$ es de hecho irreductible en $\Bbb Z_8[x]$.

Answer 2

Primero de todo tengo que admitir que no sé lo que es un polinomio irreducible sobre un no-integral de dominio.
Pero si comprendo bien el OP quiere mostrar que $X-1$ no puede ser escrito como un producto de dos no es invertible polinomios (de grado al menos uno).
Suponer lo contrario, y escribir $X-1=fg$ con $\deg f\ge1$, $\deg g\ge1$.
Si trabajamos sobre un anillo de $R$ tener sólo un primer ideal $\mathfrak p$ (como es $\mathbb Z/8\mathbb Z$), luego llegamos a una contradicción de inmediato: en $R/\mathfrak p$ tenemos $X-\overline 1=\overline f\overline g$ por lo tanto $\deg\overline f=0$ $\deg\overline g=1$ (o viceversa). A continuación, todos los coeficientes de $f$ a excepción de $f_0$ pertenece a $\mathfrak p$, por lo que son nilpotent. Pero, obviamente, $f_0$ es invertible, por lo $f$ es invertible.

Observación. Se demostró que la $X-1$ es "irreductible" por encima de cualquier anillo conmutativo tener sólo un primer ideal (en particular para $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ $p$ prime, $n\ge1$). Uno no puede generalizar esto para anillos conmutativos con al menos dos prime ideales: en $(\mathbb Z/6\mathbb Z)[X]$ podemos escribir $X-1=(3X-1)(2X+1)$.