$P(x,n) = \frac{x(n-1)!}{n^{x}(n-x)! }$ -- ¿Cuál es el nombre de esta distribución de probabilidad?

Question

$$ P(x,n) = \frac{x(n-1)!}{n^{x}(n-x)! } $$

Estoy teniendo muy difícil describir lo que este reparto se hace, pero es muy simple en el código. Así que si usted sabe de código, a continuación, leer en:

// example with n = 10
// keep incrementing x until it is greater than random number between 0 and 10
// note that the random number is generated after each iteration
var i = 0;
while (i++ < Math.random() * 10){};
i = i - 1;
// P(3, 10) = the odds that i will end up being 3 

¿Cuál es el nombre de esta distribución?

Answer 1

Deje $X$ ser una variable aleatoria con función de masa de probabilidad $$ p_m = \mathbb{P}\left(X=m\right) = \frac{m}{n^m} \frac{(n-1)!}{(n-m)!} [ 1 \leqslant m \leqslant n ] $$ El pmf satisface una simple ecuación de recurrencia: $$ \frac{p_{m+1}}{p_m} = \frac{n-m}{n} \frac{m+1}{m} $$ distribuciones discretas cuya pmf satisfacer de primer orden de la diferencia de ecuaciones con coeficientes polinomiales eran los estudios de Katz (véase Johnson, Kemp, Kotz), que considera discretos análogos de Pearson de distribución de la familia.

Queda por demostrar que el procedimiento de muestreo es correcta. La probabilidad de que el evento de que el muestreo código por encima de los rendimientos de $m$, es equivalente a la probabilidad de que $$ \mathbb{P}\left(U_1 > \frac{1}{n}, U_2 > \frac{2}{n}, \ldots, U_{m-1} > \frac{m-1}{n}, U_m < \frac{m}{n} \right) = \frac{m}{n}\prod_{k=1}^{m-1} \left(1-\frac{k}{n}\right) = \frac{m}{n^m} \frac{(n-1)!}{(n-m)!} $$ donde $U_k$ son iid continuo de variables aleatorias uniformemente distribuidas en la unidad de intervalo.

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En realidad esta distribución particular es conocido como Naor de distribución, el cual se presenta en un modelo de urna.