Acerca de cyclotomic extensiones de $p$-ádico campos

Question

He estado trabajando en el problema de encontrar la máxima abelian extensión de $\mathbb{Q}_5$ que es asesinado por $5$. En otras palabras, encontrar la abelian extensión de $\mathbb{Q}_5$ con grupo de Galois isomorfo a $\mathbb{Q}_5^\times/\mathbb{Q}_5^{\times 5}\simeq C_5\times C_5$. Ahora

$$(\mathbb{Q}_5^\times :\mathbb{Q}_5^{\times 5})=25$$

así que, esencialmente, es suficiente para encontrar a dos disjuntos $C_5$ extensiones de $\mathbb{Q}_5$ y tomar sus compositum. $C_5$ extensiones no parecen demasiado fáciles de construir, así que por el local de Kronecker-Weber teorema sólo pudo mirar para cyclotomic extensiones de grado divisible por $5$ e intentar identificar un subextension de grado $5$.

He tratado de encontrar una buena fuente de información acerca de cyclotomic extensiones de $p$-adics, pero esto parece ser un tema de falta de toda la teoría de campo de los libros. Libros sobre la teoría algebraica de números parecen omitir este tema también y nuestros graduados clase de álgebra no cubrirlo.

Ahora mi intuición me guiara como sigue. De trabajo en $\mathbb{Q}$ uno inmediatamente se encontrar $\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{-1})$ como cíclica de grado $5$ de extensión. También tenemos que $[\mathbb{Q}(\zeta_{25}):\mathbb{Q}]=20$, por lo que el $[\mathbb{Q}(\zeta_{25}+\zeta_{25}^{-1}):\mathbb{Q}]=10$ e con $(\zeta_{25}+\zeta_{25}^{-1})^2=\zeta_{25}^2+2+\zeta_{25}^{-2}$ uno podría esperar que la configuración de $\alpha=\zeta_{25}^2+\zeta_{25}^{-2}$, tendríamos

$$[\mathbb{Q}(\zeta_{25}+\zeta_{25}^{-1}):\mathbb{Q}(\alpha)]=2\Rightarrow [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=5$$

(Nota, no lo he comprobado si esta primera extensión tiene el grado $2$)

Finalmente, $\mathbb{Q}(\zeta_{25})\cap \mathbb{Q}(\zeta_{11})=\mathbb{Q}$, así que tendría que

$$\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{-1},\alpha)/\mathbb{Q}$$

es una $C_5\times C_5$ extensión de $\mathbb{Q}$. Mi pregunta es, entonces, que funciona esto, si reemplazamos $\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}_5$? Más específicamente:

1. ¿Qué sería de Euler totient funciones mirada como si se define como el orden de las $n^\textrm{th}$ cyclotomic extensión de $\mathbb{Q}_p$? Si $p-1\mid n$, al menos tendrían que ser diferentes. Es $[\mathbb{Q}_5(\zeta_{25}):\mathbb{Q}_5]=[\mathbb{Q}(\zeta_{25}):\mathbb{Q}]$?

2. Aun así, podemos esperar a tener por ejemplo,$\mathbb{Q}_p(\zeta_n)\cap \mathbb{Q}_p(\zeta_m)=\mathbb{Q}_p(\zeta_{\gcd(n,m)})$? ¿Qué otros campos locales de la característica $0$?

No he pensado realmente en todo, como yo en lugar de simplemente encontrar una buena referencia para este tema.

Answer 1

Libros sobre la teoría algebraica de números debe tener esto.

Para $n$ no divisible por $p$, el grupo de Galois de $\mathbb{Q}_p(\zeta_n)$ $\mathbb{Q}_p$ es el mismo que el grupo de Galois de $\mathbb{F}_p(\zeta_n)$$\mathbb{F}_p$, básicamente debido a Hensel del Lexema. Pero finito extensiones de campos finitos son cíclicos, por lo que es fácil calcular el último grupo de Galois: cíclica de grado $n/\gcd(n,p-1)$. La extensión también es unramified.

Para $n=p^k$, el grupo de Galois de $\mathbb{Q}_p(\zeta_n)$$\mathbb{Q}_p$$(\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z})^{\times}$ , lo mismo que sobre $\mathbb{Q}$. Para $k=1$, usted puede ver directamente que el cyclotomic polinomio $(x^p-1)/(x-1)$ es irreductible, porque se convierte en un Eisenstein polinomio en el momento de hacer el cambio de variable $x \mapsto x+1$. [Edit: Esta sustitución no siempre funciona para mayor $k$; voy a tener que pensar en otra discusión aquí.] La extensión es totalmente ramificado.

Para general $n$, combinar los 2 anteriores casos.

Answer 2

Suena como si usted es un estudiante de posgrado tratando de aprender algo de álgebra teoría de los números. (Lo siento si he adivinado equivocado en este punto.) En este caso me animo a intentar resolver esta pregunta a ti mismo, en lugar de buscar una referencia.

Una sugerencia es pensar acerca de ramificación:

Usted puede hacer uno (y sólo uno) $C_5$-extensión que es totalmente unramified. Dichas extensiones son siempre cyclotomic extensiones. (Están dadas por las extensiones de los residuos correspondiente campos, que son finitas campos siempre están cyclotomic.)

Usted también puede encontrar un $C_5$-extensión, lo cual es totalmente ramificado. Esto también puede ser llevado a ser cyclotomic. Que cyclotomic extensiones serán totalmente ramificado en $5$?