La desigualdad $abdc$ $\leq$ $3$

Question

$a+b+c+d=6$ y $a^2+b^2+c^2+d^2=12$. y $a,b,c,d$ son reales. Probar: $abcd$ $\leq$ $3$ sin multiplicadores de Lagrange, los números complejos o convexidad de ayuda.

El uso de Cauchy–Schwarz desigualdad que he encontrado: $a,b,c,d \in [0,3]$. Cómo resolver la desigualdad?

Answer 1

Vamos $a=1+x$, $b=1+y$, $c=1+z$ y $d=1+t$.

Por lo tanto, $x+y+z+t=2$, $\sum\limits_{cyc}(1+x)^2=12$, que da $x^2+y^2+z^2+t^2=4$ y

$xy+xz+yz+xt+yt+zt=0$.

Por el camino, $0=(xy+xz+yz+xt+yt+zt)^2=$

$=x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2+x^2t^2+y^2t^2+z^2t^2+2\sum\limits_{cyc}x^2(yz+yt+zt)+6xyzt$.

Id est, $abcd=(1+x)(1+y)(1+z)(1+t)=3+\sum\limits_{cyc}xyz+xyzt=$

$=3+\frac{1}{2}\sum\limits_{cyc}x\sum\limits_{cyc}xyz+xyzt=3+\frac{1}{2}\left(\sum\limits_{cyc}x^2(yz+yt+xt)+4xyzt\right)+xyzt=$

$=3+\frac{1}{2}\sum\limits_{cyc}x^2(yz+yt+xt)+3xyzt=$

$=3+\frac{1}{4}\left(-(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2+x^2t^2+y^2t^2+z^2t^2)-6xyzt\right)+3xyzt=$

$=3-\frac{1}{4}(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2+x^2t^2+y^2t^2+z^2t^2)+\frac{3}{2}xyzt\leq$

$\leq3-\frac{3}{2}|xyzt|+\frac{3}{2}xyzt\leq3$.

Answer 2

Si $abcd\le0$ no hay nada que probar, por lo que (1) $a,b>0$ $c,d<0$ o (2) $a,b,c,d>0$.

Caso (1). Tenemos $a+b>6$, lo $a^2+b^2\ge 3^2+3^2>12$. Contradicción.

Caso (2) No es un resultado estándar (bueno, estándar, entre los que lío con la Olimpiada de las desigualdades) que para los positivos $a_1,\dots,a_n$ si arreglamos $\sum a_i$$\sum_{i\ne J}a_ia_j$, entonces el máximo de $a_1a_2\dots a_n$ se logra cuando el $a_i$ a asumir en la mayoría de los dos valores distintos entre ellos. Así que en este caso se debe tener (A) $a=b,c=d=3-a$ o (B) $b=c=d=6-a$.

El uso de $a^2+b^2+c^2+d^2$, (A) da $ac=\frac{3}{2}$ y, por tanto,$abcd=\frac{9}{4}<3$, mientras que (B) da $a=b=c=1,d=3$ y, por tanto,$abcd=3$.

[ver http://artofproblemsolving.com/community/c6h1187374p5777294 para el "generalizadas uvw" teorema]

Answer 3

La convexidad de los métodos generales o de las desigualdades de ayuda cuando el extremo se toma en un punto donde todas las variables tienen el mismo valor. Pero en el problema en cuestión no es factible punto con todos los $x_i$ igual. En otras palabras: Hay un poco de "ruptura de simetría", lo que implica entonces que hay varios máximos globales.

El conjunto $S$ factible puntos es una $2$-esfera incrustado en ${\mathbb R}^4$, por lo tanto compacto. Desde la intersección entre la hyperplane $x_1+x_2+x_3+x_4=6$ y la esfera de $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=12$ es transversal en los puntos donde la función objetivo $p(x_1,x_2,x_3,x_4):=x_1x_2x_3x_4$ se lleva a su máximo en $S$ será traído a la palestra utilizando el método de Lagrange. Configurar la función de Lagrange $$\Phi(x_1,x_2,x_3,x_4):=p(x)-\lambda(x_1+x_2+x_3+x_4)-\mu(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)\ .$$ Considerado un punto fijo $x_*=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ $p$ ha de satisfacer la condición de $${\partial\Phi\over\partial x_1}(x_*)=x_2x_3x_4-\lambda-2\mu x_1=0\ ,$$ o $$p(x_*)-\lambda x_1-2\mu x_1^2=0\ .$$ Por simetría esto implica que todas las coordenadas $x_i$ $x_*$ satisfacen la misma ecuación cuadrática, por lo tanto, hay en la mayoría de los dos diferentes valores de coordenadas entre los cuatro.

Tratando de $x_1=x_2=u$, $x_3=x_4=v$ conduce a $$u+v=3,\quad u^2+v^2=6$$ y, por tanto,$2uv=(u+v)^2-(u^2+v^2)=3$. De esto podemos obtener $p(x_*)=u^2v^2={9\over4}<3$.

Tratando de $x_1=x_2=x_3=u$, $x_4=v$ conduce a $$3u+v=6,\quad 3u^2+v^2=12\ ,$$ a partir de la cual obtenemos $(u,v)\in\{(1,3),(2,0)\}$. El correspondiente $p$valores $u^3v$$3$$0$. De ello se deduce que el máximo de $p$ en el conjunto factible es $3$.

Ahora que hemos identificado el extremal configuraciones que podemos empezar a pensar acerca de una prueba utilizando el método de Lagrange. Un punto de partida podría ser la siguiente: Demostrar que cualquier viable punto de con $x_1<x_2<x_3$ no puede ser óptima.