axioma de elección: la cardinalidad de general discontinuo de la unión

Question

Tengo este ejercicio en el que participaron el axioma de elección, pero no entiendo donde se necesita: Vamos a $(X_i)_{i \in I}$ $(Y_i)_{i \in I}$ ser pares distintos conjuntos de con $|X_i| = |Y_i|$. Demostrar, utilizando el axioma de elección, que $$ \mid\bigcup_{i \in I} X_i\mid = \mid\bigcup_{i \in I} Y_i\mid.$$ Supongo que esto sólo significa que usted tiene que demostrar que existe un bijection entre el$\mid\bigcup_{i \in I} X_i\mid$$\mid\bigcup_{i \in I} Y_i\mid$, que creo que es casi trivial, pero no entiendo donde el axioma de elección (o de otra forma) es necesario.

Yo también tengo la misma pregunta de los productos (sin el pares distintos declaración de la unión): demostrar que, dado que $|X_i| = |Y_i|$, $$ \mid\prod_{i \in I} X_i\mid = \mid\prod_{i \in I} Y_i\mid.$$ De nuevo, no entiendo por qué el axioma de elección es necesaria, dado que la búsqueda de un bijection es trivial y, si axioma de elección no se mantiene, los dos productos están vacías y la igualdad sigue trivialmente.

Lo que me estoy perdiendo aquí ?

Answer 1

Supongamos $A$ $B$ son dos conjuntos de igualdad de cardinalidades, sin ninguna estructura adicional hay $2^{|A|}$ muchos bijections entre ellos.

Usando el axioma de elección, podemos elegir $f_i\colon X_i\to Y_i$ que es un bijection, y el uso de estos bijections construir uno de $\bigcup X_i$ $\bigcup Y_i$en el modo intuitivo que sería de esperar.

Sin embargo, ya que estamos eligiendo entre una infinidad de conjuntos a la vez no podemos decir que la secuencia de bijections existe. Tal afirmación debe ser respaldada, y el axioma de elección es exactamente lo que nos permite una copia de seguridad - las colecciones de bijections son no vacías, y así podemos elegir uno de cada uno. A partir de estas elecciones tenemos una secuencia de bijections que podemos utilizar para construir el bijection entre los sindicatos.

Sin el axioma de elección es posible que no podemos elegir la bijections. Es posible tener ese $A_i$ es contable para $i\in\omega$ pero $|\bigcup A_i|=\aleph_1$, que es, por supuesto, innumerables.

Por su argumento se podría decir que el $A_i$ tiene un bijection con $\{i\}\times\omega$ $\bigcup A_i$ es incontable mientras que $\bigcup(\{i\}\times\omega)=\omega\times\omega$ es contable. Por lo tanto, los sindicatos no están en bijection.

Espere, se pone aún peor. Es posible tener una contables de la familia de los distintos pares (conjuntos de dos elementos cada uno), y la unión de es incontable. Por supuesto, el uncountability de la unión no implica que tiene cardinalidad $\aleph_1$, sino que no puede ser bien ordenado. Por otro lado, podemos escribir $\mathbb Z\setminus\{0\}$ como los pares de $\{-n,n\}$. La unión de estos countably muchos pares es de hecho contables.

Con los productos de la utilización de elección es aún más claro. No es trivial que el producto es no vacío, pero esto no implica que cada producto está vacía.

En el ejemplo anterior de los pares, tenemos countably muchos distintos pares de $P_i$ tal que $\prod P_i=\varnothing$. Sin embargo, si usted toma los pares de números naturales, por ejemplo,$\{2n,2n+1\}$, entonces el producto es$2^\omega$, y la unión es contable. Esto, una vez más, debe sugerencia de que de el ejemplo.

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Así que para responder a ambas preguntas, el punto que usar el axioma de elección es en la elección de los bijections para la construcción de la bijection entre los productos o en los sindicatos. Por supuesto, esto puede ser evitado si existe una estructura de los conjuntos, si son todos los subconjuntos de un mismo bien ordenar, por ejemplo.

Leer más en este sitio:

1. La cardinalidad de un infinito unión de conjuntos finitos
2. Finito elección sin AC
3. La cardinalidad de la unión de ${{\aleph }_{0}}$ distintos conjuntos de cardinalidad $\mathfrak{c}$

Answer 2

Para la primera parte tiene que para cada una de las $i$ el conjunto $B_i$ de bijections de $X_i$ $Y_i$es no vacío. Usted puede construir un bijection entre los sindicatos mediante la selección de un elemento de $B_i$ por cada $i$, por lo que usted necesita con el Axioma de Elección.