De Rham Cohomology de una Mentira grupo

Question

Si $G$ está conectado Mentira de un grupo con la Mentira de álgebra $\mathcal{G}$, luego de Rham cohomology de izquierda invariante différential formas $H_L^*(G)$ es isomorfo a la Chevalley–Eilenberg cohomology $H^*(\mathcal{G})$ para el trivial de acción de $\mathcal{G}$$\mathbb{R}$.

Esto es obvio, si asociamos a cada izquierdo invariantes diferenciales de la forma en $G$ de su valor en el elemento neutro $e$$G$, después de la identificación de $\mathcal{G}^*$$T_e^*G$.

Menos obvio es el hecho de que para un compacto de Lie del grupo de $G$ su de Rham cohomology $H^*(G)$ es naturalmente isomorfo a $H_L^*(G)$ (el subcomplejo de izquierda invariante formas diferenciales).

Puede que me apunte a una buena referencia a este tema: el de Rham cohomology de un compacto de Lie del grupo?

Answer 1

La intuición es que desde cualquier forma cerrada $\omega$ es cohomologous a $L_g^* \omega$ (donde $L_g$ está a la izquierda de la traducción, y el reclamo es porque hay un camino entre el $g$ y la identidad que "homotopes" $L_g^* \omega$$\omega$), por lo $\omega$ es cohomologous para el "promedio" de todos los $L_g^* \omega$ (es decir, el Haar integral de la $\int_G L_g^* \omega$). Este promedio es claramente de izquierda-invariante.

Este no es un argumento riguroso, aunque. Usted puede encontrar más detalles en estas notas, incluyendo una prueba de que el hecho adicional de que el $i$th cohomology puede ser calculada como simplemente el espacio de bi-invariante $i$-formas.