Demostrando que dos definiciones de $\limsup$ son equivalentes

Question

En Rudin, $\limsup$ se define como sigue:

Dejemos que $S$ sea el conjunto de límites subsecuentes de $\{s_n\}$ . Entonces $$\limsup s_n = \sup S. \tag{1}$$

Sin embargo, nuestro instructor de análisis real definió $\limsup$ de una manera diferente:

$$\limsup s_n = \lim_{n \to \infty} \sup_{m \ge n} s_m. \tag{2}$$

Me cuesta entender cómo estas dos definiciones son equivalentes. Me sería muy útil si alguien pudiera aportar una prueba con alguna explicación.

Mis pensamientos sobre el problema:

He observado que la tendencia habitual en este tipo de pruebas es demostrar el límite superior $(1) \le (2)$ y luego el límite inferior $(1) \ge (2)$ para obtener la conclusión deseada. Sin embargo, no estoy seguro de cómo empezar.

Answer 1

Primero construimos una subsecuencia en $S$ que tiene límite $\lim_{n\to\infty} \sup_{k>n} s_k$ . Lo hacemos observando que hay un $l(n)>n$ tal que $\sup_{k>n}s_k \ge s_{l(n)} \ge \sup_{k>n}s_k-2^{-n}$ , ahora $\lim_{n\to\infty}s_{l(n)} = \lim_n\sup_{k>n} s_k$ .

Ahora como $l(n)>n$ tenemos $l(n)\to\infty$ así que $l(n)$ tiene una subsecuencia creciente $t_n$ y con ello podemos construir la subsecuencia deseada de $s_n$ .

Es decir, hemos demostrado que

$$\sup S \ge \lim t_n = \lim_{n\to\infty}\sup_{k>n}s_k$$

Para demostrar lo contrario consideremos la subsecuencia "sincronizada" $u_n$ (que $u_n=s_n$ o $u_n=u_{n-1}$ - simplemente repitiendo los elementos de la subsecuencia para mantenerlos sincronizados) - este tipo de construcción no altera la definición si $S$ . Ahora $\{u_k: k>n\}\subseteq \{s_k: k>n\}$ y por lo tanto $\sup_{k>n}u_k \le sup_{k_n}s_k$ .

Esto significa que:

$$\lim_{n\to\infty} u_k \le \lim_{n\to\infty}\sup_{k>n}u_k \le \lim_{n\to\infty}\sup_{k>n}s_k$$

Es decir, para todas las subsecuencias en $S$ el límite es inferior o igual al $\liminf$ de la definición (2), es decir:

$$\sup S\le\lim_{n\to\infty}\sup_{k>n}s_k$$

Answer 2

Dejemos que $s_n \in R$ y $S \subset R \cup \{+\infty,-\infty\}$ . Definir $s_n^* = \sup\{s_k \mid k\ge n\}$ , $s^* = \lim_{n\to\infty}s_n^*$ y $\{s_k\}_{k\ge n} = s_n,s_{n+1},\dots$ . Si $s_1^* = +\infty$ entonces existe una sucesión de $\{s_n\}$ que diverge a $+\infty$ Así que $\sup S = s^* = +\infty$ . $s_1^* = -\infty$ no es posible porque $s_n \in R$ . Supongamos que $s_1^* < +\infty$ . $\sup S \le s_n^*$ $(n\ge1)$ porque $S$ es el conjunto de límites subsecuentes de $\{s_k\}_{k\ge n}$ $(n\ge1)$ . Por lo tanto, $\sup S \le s^*$ . Sea $k_0 = 1$ . Para cada $\{s_k\}_{k\ge n}$ existe $k_n \ge n$ tal que $k_n \ge k_{n-1}$ y $|s_n^* - s_{k_n}| < 1/2^n$ por la definición del supremum. Construye una secuencia $\{t_n\}$ eliminando los elementos repetitivos de $s_{k_1},s_{k_2},\dots$ . Entonces, $\{t_n\}$ es una sucesión de $\{s_n\}$ que converge a $s^*$ . Por lo tanto, $s^* \in S$ y $s^* \le \sup S$ . Completa la prueba.