Fundamento de los valores de verdad

Question

Yo originalmente pidió a una pregunta sobre los Programadores.SE saber por qué $0$ se considerar $\text{false}$ y todos los demás [integral] los valores se consideraron $\text{true}$. Que fue un gran debate y muchos dijeron que era un legado de álgebra Booleana donde $0$ es, de hecho,$\text{false}$$1$$\text{true}$.

Alguien me sugirió ir más allá y preguntarse aquí por qué esto es realmente el caso en el álgebra Booleana. Así que aquí está la pregunta: ¿cuál es la justificación para $0$ $\text{false}$ $1$ $\text{true}$ y no al revés en el álgebra de boole?

Answer 1

Los números esencialmente no importa. Pero si usted desea representar a su $2^4$ la verdad de las funciones (ver Wikipedia) el uso de la aritmética, a continuación, $0,1$ vienen en handy. Esto es debido a sus propiedades de ser el aditivo y multiplicativo elemento neutro simplifica algunos cálculos.

Se puede representar a las funciones utilizando cualquiera de los números, de verdad. Si $a$ puede ser un número que representa $\text{true}$ o a otro número que representa a $\text{false}$, luego

$$\text{NOT}(a):=\text{true}+\text{false}-a$$

trabaja fuera de la definición de la negación. Por ejemplo

$$\text{NOT}(\text{true}):=\text{true}+\text{false}-\text{true}=\text{false}.$$

Aquí sigue un bonito gráfico que muestra todas las construcciones. Como ejemplos, el uso de $\{0,1\}$ también $\{-1,1\}$ es demonstated. Observe cómo el uso de la $0$ "$\text{false}$ " elimina todos los términos relacionados con el número de $s_0$ $\{0,1\}$ columna específicamente a corto y simple para sus cálculos.

Answer 2

No me sorprendería si una versión de este convenio se remonta a Boole mismo, en su álgebra de clases. Yo creo que él utilizó $0$ para la clase vacía y $1$ para la clase de "todo". (Esto fue antes de que el conjunto de la teoría de las paradojas que hizo que la gente mareado acerca de la clase de todo.) En virtud de la natural correspondencia entre clases y funciones a "true" y "false" (donde una clase $C$ corresponde a la función de envío de elementos de la $C$ a "true" y "todo" lo demás "false"), estos serían la constante "false" para $0$ y el constante "verdadera" función de $1$. Por lo tanto era natural y conveniente para identificar la verdad de los valores con estos números.

Answer 3

Creo que esto tiene que ver con álgebra boleana donde o se considera como más funcionamiento y y es considerada como multiplicación. Si le asignamos false a 0 y a 1 entonces la aritmética usual funciona.