La pregunta acerca de una propiedad que tienen cierta extensiones algebraicas $E/K$ (no necesariamente separable).

Question

Hace un par de días me encontré con esta pregunta aquí en matemáticas.stackexchange, que dio el suficiente criterio para un separables, la extensión algebraica $E/K$ es una clausura algebraica de $K$. Sin embargo, fue reclamado por KCd, en un comentario debajo de la pregunta que me refiero, que nos puede caer la condición de separabilidad en la extensión y aún así obtener el mismo resultado

Mi pregunta es: ¿cómo es la prueba de trabajo en la no-separables caso?

Poner precisamente: Vamos a $E/K$ ser una extensión algebraica de tal forma que cada no-constante polinomio en $K[X]$ tiene una raíz en $E$, $E$ el (hasta el isomorfismo) algebraicas cierre de $K$.

Es bastante claro para mí que Makotos prueba en el separables caso (que puede ser encontrado en la página del enlace de arriba está llevando a) no funciona para el caso de un no-separables de extensión (por ejemplo, debido a que el primitivo elemento teorema puede fallar). Yo tenía algunas ideas de trabajo con el cierre separable, pero no tratamos mucho, porque yo no veía una perspectiva real en mi enfoque. En otras palabras, estoy atascado.

Por último, una disculpa: me abstuve de preguntar KCd esta pregunta directamente, porque puede ser de interés común.

Saludos

Answer 1

Deje $\,E/K\,$ no separables, por lo que el $\,\operatorname{char} K=p>0\,$ . A continuación, $\,K^p\neq K\,$. Nuestra hipótesis básica es que cualquier no-constante polinomio en $\,K[x]\,$ tiene una raíz en $\,E\,$. Definir $$F:=\{x\in E\;|\;x^{p^n}\in K\,,\,\text{for some natural}\,\,n\}$$

Primer ejercicio: Demostrar que $\,F\,$ es un campo y $\,K\leq F\leq E\,$.

Ahora, tomemos $\,x\in F\,$, con decir $\,\alpha=x^{p^n}\in K\Longrightarrow p(t):=t^{p^{n+1}}-\alpha\in K[t]\,$ . Nuestra hipótesis es que el $$\exists w\in E\,\,s.t.\,\,p(w)=0\Longrightarrow x^{p^n}=w^{p^{n+1}}=\alpha\in K\Longrightarrow w\in F $$

Segundo ejercicio: Probar que en realidad $\,x=w^p\,$, y deducir que $\,F^p=F\,$ (es decir, $\,F\,$ es un campo perfecto)

Tercer ejercicio: Utilizando nuestro supuesto básico, muestran que $\,E\,$ es perfecto (sugerencia: cualquier polinomio irreducible sobre $\,E\,$ divide algunos irreductible pol. más de $\,F\,$)

Vamos ahora $$h(t):=\sum_{i=0}^kc_it^i\in F[t]\Longrightarrow \,\exists N\in\mathbb{N}\,\,s.t.\,\,c_i^{p^N}\in K\Longrightarrow g(t)=\sum_{i=0}^kc_i^{p^N}t^i\in K[t]$$and our basic assumption says $\,\existe\z\E\,\,s.t.\,\,g(z)=0\,$ .

Por último, desde el $\,E^{p^n}=E\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}\,$ (por qué?) tenemos que $\,z=r^{p^n}\,,\,\text{for some}\,n\in\mathbb{N}\,,\,r\in E$

Cuarto ejercicio: Probar que $\,h(t)\,$ tiene una raíz en $\,E\,$, terminando así con la prueba.

(Sugerencia: Use el Primer Sueño del Teorema de: $$(a+b+c+...)^{p^k}=a^{p^k}+b^{p^k}+c^{p^k}+...$$ when working in fields with characteristic $\,p$. Por supuesto, la suma anterior es finito)

El de arriba no es original. Recuerdo que esto (ya que me sorprendió ya que en teoría simplifica la prueba de que sabía acerca de la existencia de una alg. cerrado overfield para cualquier campo) de la respuesta dada por K. Conrad, que se basa en un poco de papel por Gilmer, si recuerdo correctamente.