Una desigualdad de AM-HM-GM interesante: $\text{AM}+\text{HM}\geq C_n\cdot \text{GM}$

Question

No es difícil probar que si $x,y\in\mathbb{R}^+$ la desigualdad $$ \frac{x+y}{2}+\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\geq \color{purple}{2}\cdot\sqrt{xy} $$ se sostiene, y la constante $\color{purple}{2}$ es óptimo.

En una reciente pregunta me demostró, con un muy involucrado técnica, que si $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ $$ \frac{x+y+z}{3}+\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\geq \color{purple}{\frac{5}{2\sqrt[3]{2}}}\cdot\sqrt[3]{xyz} $$ se sostiene, y la constante $\color{purple}{\frac{5}{2\sqrt[3]{2}}}$ (que es un poco menos de $2$) es óptimo. Entonces me preguntaba:

Dado $x_1,x_2,\ldots,x_n\in\mathbb{R}^+$, ¿cuál es el óptimo constante $C_n$ tal forma que: $$\text{AM}(x_1,\ldots,x_n)+\text{HM}(x_1,\ldots,x_n)\geq \color{purple}{C_n}\cdot \text{GM}(x_1,\ldots,x_n)$$

No creo que mi enfoque con $3$ variables tiene una simple generalización (también porque en $\mathbb{R}_+^3$ los puntos estacionarios son no triviales), pero tal vez algo que es bien conocido acerca de las mejoras de la AM-GM de la desigualdad, o hay una astucia enfoque por algún tipo de inducción en $n$.

Answer 1

Empíricamente parece que los términos de $n$ $\left(1,1,\ldots,1,1,\dfrac{1}{(n-1)^2}\right)$ sugieren un valor bajo para $C_n$ $(n-1)^{2/n}\left(1+(n-1)^{-2}\right)$.

Si $n-1$ de los términos son iguales (y sin pérdida de generalidad igual a $1$) y el otro término es $x$ $\frac{AM+HM}{GM}=\frac{\frac{x+n-1}{n}+\frac{n}{\frac{1}{x}+n-1}}{{{x}^{\frac{1}{n}}}}$ y su derivado es $$\frac{\left( n-1\right) \cdot {{\left( x-1\right) }^{2}}\cdot {{x}^{-\frac{1}{n}-1}}\cdot \left( {{n}^{2}}\cdot x-2\cdot n\cdot x+x-1\right) }{{{n}^{2}}\cdot {{\left( n\cdot x-x+1\right) }^{2}}}$$ which has zeros at $x=0,1,\frac{1} {(n-1) ^ 2} $. Of these $x=0$ causes problems for the $GM$ and $HM$, while $x=1$ gives a value of $\frac {AM + HM} {GM} =2$ and a second derivative of $0$, and the interesting $x=\frac {1} {(n-1) ^ 2} $$ gives the value stated above which is less than $2$ and has a positive second derivative for $n\gt 2