¿Por qué es necesario en k-teoría topológica estable equivalencia?

Question

La topológica $K$-teoría del complejo % colector compacto $X$es el monoid comutativo $K(X)$ de las clases de isomorfismo de fibrados vectoriales complejos. Dos clases $[E]$ y $[F]$ son equivalentes en $K$-teoría si son estable equivalente: existe un paquete trivial $G$ \cong $$ (E \oplus G) (F \oplus G). $$

¿En qué sentido es la noción correcta de la equivalencia en $K(X)$?

En otras palabras, ¿qué equivalencia estable compra te?

Answer 1

Se trata de si desea o no $K(X)$ a ser un grupo. Si todo lo que importa es el isomorfismo clases de vector de paquetes, que es una perfectamente buena monoid. La gente no llame a la monoid $K$-teoría porque $K$-teoría de cosas, generalmente, significa que usted ha realizado algún tipo de grupo-realización de un monoid o una categoría o algo.

Así que hay dos maneras de responder a su pregunta. El más simple sería "¿por qué no vector paquetes tienen inversos?", que en el nivel más superficial tiene la respuesta no todos los vectores de paquetes son de $0$-dimensional.

Otra manera de responder sería, lo que si hemos realizado el grupo formal de finalización de la monoid de isomorfismo clases de vector haces? Bueno, usted consigue la misma cosa. General tonterías dice que usted tiene un mapa desde el grupo de finalización de la a $K(X)$ define su forma, ya que los haces más razonable espacios complementarios paquetes.

Es esto aproximadamente una respuesta a su pregunta?

edición en respuesta a tu comentario: Decir $X$ es finito-dimensional de CW-complejos, y $\epsilon$ es finito-dimensional vector paquete de más de $X$. A continuación, hay una clasificación de mapa para $\epsilon$, este es un mapa de $X \to G_{\infty,k}$ donde $k$ es la dimensión de $\epsilon$. $G_{\infty,k}$ es el Grassmannian de $k$-dimensiones de los subespacios de $\mathbb R^\infty$. Un teorema básico acerca de $G_{\infty,k}$ es que cualquier mapa de un finito-dimensional CW-complejo en $G_{\infty,k}$ es homotópica a un mapa en $G_{m,k}$ $m$ tal vez muy grande. $G_{m,k}$ es canónicamente isomorfo a $G_{m,m-k}$ (tomar complementos ortogonales). El paquete clasificados por el correspondiente mapa de $X \to G_{m,m-k}$ es el complementario paquete a $\epsilon$, denota $\epsilon'$. Por diseño, $\epsilon \oplus \epsilon'$ es un trivial bundle como es el pull-back de la tangente paquete a $\mathbb R^m$. El hecho de que los mapas de $X \to G_{\infty,k}$ son homotópica a los mapas, $X \to G_{m,k}$ tiene muchas pruebas: una es desde el Schubert de la célula de la descomposición de $G_{m,k}$ junto con celulares aproximación.

Esa es la idea. Creo complementarios paquetes de más de paquetes más finito-dimensional espacios, pero que es la más conveniente argumento que viene a la mente (tiene que correr para enseñar en una clase ahora).

2ª edición: Vamos a $\mathcal V(X)$ ser el grupo de la finalización de la monoid $\mathcal M(X)$ de isomorfismo clases de finito-dimensional vector de paquetes de más de $X$. Deje $K(X)$ ser la estable clases de isomorfismo de vector de paquetes de más de $X$. $K(X)$ es un grupo relativamente amplio de la clase de los espacios, por los argumentos anteriormente. Así, por el grupo de finalización formal de tonterías, hay un mapa $\mathcal V(X) \to K(X)$. La pregunta es si este mapa tiene una inversa o no. Dado un elemento $[\alpha] \in K(X)$, $\alpha \in \mathcal M(X)$ es un vector paquete de más de $X$, y está bien definido hasta la equivalencia estable. A $\alpha$ hay asociado un elemento de $\mathcal V(X)$, y la pregunta es, es el mapa

$$K(X) \to \mathcal V(X)$$

bien definidos, donde se asignan $[\alpha]_{K(X)} \longmapsto [\alpha]_{\mathcal V(X)}$?

Ah, bueno, veo que el problema ahora. Esto no está bien definida. Pero las cosas están fuera sólo por una cosa pequeña. $\mathcal V(X)$ contiene una copia de los números enteros como un directo sumando. Esto es debido a que $\mathcal M(X) \to \mathbb Z$ dado por tomar la dimensión de un paquete es un homomorphism de monoids (mediante la suma de $\mathbb Z$). Hay un mapa de nuevo $\{0,1,2,\cdots \} \to \mathcal M(X)$ dado por tomar trivial paquetes de más de $X$. Así, en $\mathcal V(X)$ esto da una división de $\mathcal V(X) = \mathbb Z \oplus \overline{\mathcal V(X)}$ donde $\overline{\mathcal V(X)}$ es el "reducido" grupo de finalización de isomorfismo tipos de vector de paquetes de más de $X$. No es un bien definido mapa de $K(X) \to \overline{\mathcal V(X)}$ ya que se puede pensar de $\overline{\mathcal V(X)}$ como $\mathcal V(X)$ modulo trivial paquetes.

¿Que sentido ahora? No he pensado en nada de esto en mucho detalle por años.