Prueba de que "toda función convexa es continua"

Question

Una función de valor real $f$ definido en $(a,b)$ se dice que es convexo si $$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$ siempre que $a < x < b,\; a < y < b,\; 0< \lambda <1$ .
Demuestra que toda función convexa es continua.

Normalmente utiliza el hecho:
Si $a < s < t < u < b$ entonces $$\frac{f(t)-f(s)}{t-s}\le \frac{f(u)-f(s)}{u-s}\le\frac{f(u)-f(t)}{u-t}.$$

Me pregunto si existe alguna otra versión de esta prueba o no.

Answer 1

La versión pictórica. (Pero es la misma que su versión de desigualdad, en realidad).

Supongamos que se quiere demostrar la continuidad en $a$ . Elige los puntos $b,c$ a cada lado. (Esto falla en un punto final, de hecho el propio resultado falla en un punto final).

Por convexidad, el $c$ punto está por encima del $a,b$ línea, como se muestra:

De nuevo, el $b$ punto está por encima del $a,c$ línea, como se muestra:

El gráfico se encuentra dentro de la región roja,

así que obviamente tenemos continuidad en $a$ .

Answer 2

Este es un ejercicio de Rudin Principios del análisis matemático (Capítulo 4, problema 23, de la 3ª edición). Las desigualdades que has citado en "Normalmente utiliza el hecho..." es una parte de un ejercicio del problema 23.

En efecto, se pueden utilizar las desigualdades $$\frac{f(t)-f(x)}{t-s}\le \frac{f(u)-f(x)}{u-s}\le\frac{f(u)-f(t)}{u-t}$$ para demostrar que los dos límites siguientes existen: $$ R_x=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\quad L_x=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x)-f(x-h)}{h} $$ y por lo tanto $\lim_{h\to 0}\big(f(x+h)-f(x)\big)=0$ .

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Alternativamente, deja que $x,y,z\in (a,b)$ con $a<z<x<y<b$ . Supongamos que $x_n\in(z,y)$ y $x_n\to x$ como $n\to\infty$ . Definir $$ L=\{n\mid z<x_n\le x\},\quad R=\{n\mid x\le x_n<y\}. $$ Entonces $$ \textrm{for } n\in R,\ x_n=\lambda_n x+(1-\lambda_n)y,\quad \lambda_n=\frac{x_n-y}{x-y};\tag{1} $$ $$ \textrm{for } n\in L,\ x_n=(1-\mu_n) z+\mu_n x,\quad \mu_n=\frac{x_n-z}{x-z}.\tag{2} $$

Se deduce por convexidad que $$ \textrm{for } n\in R,\ f(x_n)\leq \lambda_nf(x)+(1-\lambda_n)f(y);\\ \textrm{for } n\in L,\ f(x_n)\leq \mu_n f(x)+(1-\mu_n)f(z) . \tag{4} $$ que da como resultado † $$ \limsup_{n\to\infty} f(x_n)\leq f(x).\tag{5} $$ Del mismo modo, se puede obtener $$ f(x)\le \liminf_{n\to\infty} f(x_n) \tag{6} $$ observando que $$ \textrm{for } n\in R,\ x=(1-\tilde\lambda_n)z+\tilde\lambda_n x_n;\tag{7} $$ $$ \textrm{for } n\in L,\ x=\tilde\mu_n x_n+(1-\tilde\mu_n)y.\tag{8} $$

Combinando (5) y (6), tenemos $$ \lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(x), $$ y por lo tanto $f$ es continua en $x\in (a,b)$ .

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Hay tres casos:

• $R$ es finito;
• $L$ es finito;
• Ambos $R$ y $L$ son infinitas.

Answer 3

Puedes hacer una prueba por contradicción.

Supongamos que $f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}$ es convexa, pero no continua en algunos $x_0\in(a,b)$ . Esto significa que: $$ \exists_{\epsilon>0}\forall_{\delta>0}\exists_{x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)} : |f(x)-f(x_0)|\ge\epsilon$$ Esta fórmula implica que una vez que fijamos $\delta$ , $f$ tiene infinitos puntos en una de las áreas: I, II, III o IV, con $x_0$ como punto de acumulación de sus $x$ coordenadas:

Dividimos nuestra prueba en 2 casos:

$(1)$ La zona es I o II. En este caso seleccionamos algún punto de la gráfica de la función de esa área: $(x_1,f(x_1))$ y dibujar un segmento de línea desde ese punto hasta $(x_0,f(x_0))$ . A continuación, seleccionamos otro punto del gráfico de la misma zona: $(x_2,f(x_2))$ , cuyo $x$ está más cerca de $x_0$ que la intersección de nuestro segmento de línea y $y=f(x_0)+\epsilon$ . Esto contradice la convexidad de $f$ como se puede ver en la siguiente imagen:

$(2)$ La zona es III o IV. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el área es III. En este caso seleccionamos algún punto de la gráfica de la función a la derecha de $x_0$ digamos: $(x_1,f(x_1))$ . A continuación, dibujamos un rayo, que comienza en $(x_1,f(x_1))$ y pasa por $(x_0,f(x_0))$ . Utilizamos $x'$ para denotar el $x$ coordenada de la intersección de nuestro rayo y $y=f(x_0)-\epsilon$ . Si no se cruzan, se establece: $x'=-\infty$ . A continuación, seleccionamos otro punto: $(x_2, f(x_2))$ en $f$ en el área III, con $x'<x_2<x_0$ . Por último, dibujamos un segmento entre $(x_2, f(x_2))$ y $(x_1, f(x_1))$ . Esto vuelve a contradecir la convexidad, como puede verse en la siguiente imagen:

Answer 4

Yo tendría cuidado de reformular la pregunta como:

¿Existe una prueba alternativa del hecho de que una función convexa de valor real definida en un intervalo abierto de los reales es continua?

Ya que en general las funciones convexas no son continuas ni son necesariamente continuas cuando se definen sobre conjuntos abiertos en espacios vectoriales topológicos.

Una alternativa podría ser identificar el punto de discontinuidad como x. Entonces existe un punto arbitrariamente cercano a x, denotado x', cuyo valor f(x') está acotado por una constante desde f(x). Dependiendo de cómo quieras estructurar tu demostración, puedes pensar que es suficiente observar que esto implica que la epígrafe de la función no es cerrada y por tanto la función no es semicontinua inferior. Pero toda función convexa sobre los reales es semicontinua inferior en el interior relativo de su dominio efectivo, que es igual al dominio de definición en este caso.

Una prueba más general de esta propiedad se da en "Convexidad y optimización en espacios de Banach". Los autores demuestran la proposición de que toda función convexa adecuada definida en un espacio lineal topológico separado de dimensión finita es continua en el interior de su dominio efectivo. Es probable que se pueda ver la prueba correspondiente utilizando la función de búsqueda de libros de Amazon o Google.

Answer 5

La mejor prueba alternativa (en mi humilde opinión) es que una función es convexa si y sólo si su epígrafe es un conjunto convexo. Si una función NO es continua entonces el epígrafe no puede ser convexo (obviamente... haz un dibujo); pero entonces por lo anterior, la función no puede ser convexa. En esta demostración se utilizó el contrapositivo.