¿Por qué son funciones continuas del "derecho" morfismos entre espacios topológicos?

Question

Recientemente, alguien me mencionó que dada una función de $f: X \to Y$ hay dos funciones naturales entre la powersets $P(X)$$P(Y)$. Es decir,$f: U \subset X \mapsto f(U)$$f^{-1}: V \subset Y \mapsto f^{-1}(V)$. Entonces, si tenemos en cuenta los mapas de entre $P(P(X)), P(P(Y))$, cada uno de los anteriores mapas inducir dos más, por lo que hay cuatro naturales de los mapas.

Por lo tanto, parece que en la cara de ella como hay cuatro opciones naturales para morfismos de espacios topológicos (desde una topología en $X$ es un elemento de $P(P(X))$). ¿Por qué es que las funciones continuas son los morfismos elegimos y no uno de los otros cuatro mapas?

Entiendo que la teoría, que se obtiene de tomar funciones continuas como morfismos es muy rica y tan sólo con esto proporciona una justificación adecuada. Sin embargo, estoy buscando un tipo diferente de justificación a lo largo de las líneas de "es que hay algunas propiedades de funciones continuas que inmediatamente sugiere que son la elección "correcta" de morfismos entre espacios topológicos?".

Answer 1

Yo tenía la misma pregunta que tú cuando yo estaba estudiando espacios topológicos: en particular, me molesta que la definición no tenía el aspecto de "preserva la estructura" en el sentido de que me había familiarizado con en álgebra abstracta, por ejemplo, la preservación de un grupo de operación en el caso de los morfismos de grupos. Aquí fueron mis pensamientos en el momento. Aquí hay dos propuestas que tiene en la actualidad para responder a esta pregunta.

Kuratowski

Hay una alternativa y equivalente axiomatization de espacios topológicos llamado la Kuratowski cierre de los axiomas. Aquí una topología en un espacio de $X$ es descrito en términos de la operación $\text{cl}$ en el juego de poder que envía un subconjunto de a $X$ a su cierre en la topología, y la continuidad se convierte en "conserva el cierre de operador" en el sentido de que $f(\text{cl}(A)) \subseteq \text{cl}(f(A))$.

Vickers

Topología General es en realidad un tipo de lógica. No sé que esta idea es debido, pero ver Vickers' Topología a través de la Lógica para mucho más en este tema. En particular, el abierto de subconjuntos de un espacio topológico debe ser pensado como axiomatizing semidecidable propiedades: propiedades que se pueden confirmar, pero no necesariamente no, dado lo limitado de herramientas (por ejemplo, tiempo finito y precisión).

Por ejemplo, usted puede confirmar si dos cosas son menos de $5$ pulgadas de distancia mediante la medición de la distancia entre ellos para precisión finita y ver si es menos de $5$, de modo que una bola abierta de radio $5$ en un espacio métrico describe un semidecidable de la propiedad, pero no se puede confirmar si dos cosas son menos de o igual a $5$ pulgadas de distancia mediante la medición de la distancia entre ellos para precisión finita, porque si usted consigue $4.99 \pm 0.2$ pulgadas usted no sabe, ya sea encima o debajo de la $5$.

Semidecidability puede ser utilizada para justificar todo el espacio topológico axiomas, que es un buen ejercicio. Por ejemplo, arbitraria sindicatos de abrir los conjuntos son abiertos porque dado un método para confirmar si usted está en cada uno de los bloques abiertos, se obtiene un método para confirmar si estás en alguna de ellas mediante la ejecución de todos los métodos de forma simultánea y a la espera de uno para terminar. Pero solo obtiene finito intersecciones cuando intenta hacer lo mismo esperando que todos los métodos para acabar por el método de $n$ podría tomar $n$ segundos acabado.

Funciones continuas, a continuación, axiomatize "funciones computables": para $f$ ser continua significa que debe ser posible calcular $f(x)$ "a de precisión arbitraria" mediante el cálculo de $x$ "a de precisión arbitraria," donde va fuera de el ejemplo de métrica espacios "de precisión arbitraria" significa "dentro de un arbitrario conjunto abierto," ya que es semidecidable si $f(x)$ está contenida dentro de un conjunto abierto. En otras palabras, para localizar $f(x)$ dentro de algún conjunto abierto $U$, es suficiente para localizar $x$ dentro de algún conjunto abierto $V$. Después de un momento de reflexión verás que esta es precisamente la condición de que $f^{-1}(U) = V$.

(Me gusta especialmente esta justificación de espacios topológicos y continuidad porque, a diferencia de la justificación viene de pensar acerca de la métrica de los espacios, se sigue aplicando a los espacios que no son Hausdorff, y de hecho le dice a usted lo que significa para un espacio a no ser Hausdorff. Una definición equivalente de Hausdorff es que la diagonal $\{ (x, x) \in X \times X \}$ es cerrado en $X \times X$. Esto es equivalente a "$x \neq y$" ser semidecidable, por lo que un espacio de no ser Hausdorff precisamente cuando "$x \neq y$" no puede ser semidecidable.)

Answer 2

Aquí es una manera de responder a la pregunta. Los datos de un mapa continuo entre espacios topológicos sobrios están equivalentes a los datos de un morfismo geométrica de los toposes asociado de poleas.

Aunque la restricción a la sobria espacios puede parecer decepcionante, tenga en cuenta que la plena categoría de espacios topológicos todo está llena de patologías.

Answer 3

Probablemente hay más de una manera de responder a esta pregunta, entonces no tengo ningún reclamo para que la mina ha sido la definitiva.

Una de morfismos de espacios topológicos debe ser uno que es de alguna manera compatible con la estructura topológica, y de hecho, como usted dice que hay dos nociones de la "compatibilidad" a tener en cuenta. Para decidir cual usar, usted debe preguntarse lo que usted desea isomorphisms de espacios topológicos a hacer.

Creo que es natural exigir que un isomorfismo de un espacio topológico $(X,\mathscr{T}_X)$ a otro espacio topológico $(Y,\mathscr{T}_Y)$ preservar las topologías exactamente, en el sentido de que la inducida por morfismos $\mathscr{T}_X\to\mathscr{T}_Y$ ser un isomorfismo en algunos categoría adecuada (sin duda en $\mathbf{Set}$, pero posiblemente en una categoría más restrictiva). La noción usual de un homeomorphism se satisfacen esta propiedad. Por lo tanto, funciones continuas son naturales morfismos en $\mathbf{Top}$, en el sentido de que el resultado de la isomorphisms, es decir, homeomorphisms, preservar las estructuras interesantes de objetos en $\mathbf{Top}$ (es decir, las topologías) exactamente.

No es inmediatamente obvio que el otro natural de la noción de morfismos (creo que esas son mapas abiertos?) considera usted tendrá esta propiedad de la preservación de la estructura de interés (la topología), cuando se considera la consecuente noción de isomorphisms - o, de hecho, si conservan interesantes de estructura. (Cualquier homeomorphism será una de morfismos sin embargo, desde homeomorphisms son mapas abiertos.)

Esta línea de razonamiento, también se sugiere por qué medibles funciones pueden ser considerados "naturales" morfismos en la categoría de medir los espacios - el concepto de isomorfismo para esta noción de morfismos proporciona un isomorfismo de los subyacentes a las estructuras pertinentes.

Por supuesto, esto es poner el carro delante del caballo - cualquier noción de morfismos de espacios topológicos que tenemos debe ser intuitivo en primer lugar, y creo que cualquiera que sea la categoría de la teoría de la siguiente manera debemos aceptar como lo que es.