Soluciones de $XA=XAX$ .

Question

Todas las matrices son reales y $n \times n$ . La matriz $A$ se da. Estoy interesado en resolver $XA=XAX$ . En particular, me gustaría alguna caracterización de las matrices que satisfacen esta ecuación.

Por ejemplo, una caracterización útil sería: cualquier $X$ está relacionado de alguna manera concreta con el espacio de filas de $A$ o cualquier $X$ está relacionado de alguna manera con los vectores propios de $A$ . Quiero describir el conjunto de admisibles $X$ es en términos de alguna descomposición conocida de $A$ o alguna propiedad de $A$ .

En caso de que esto conduzca a un conjunto mayor de soluciones admisibles, también me interesa, como problema aparte, la relajación compleja, es decir. $A$ es real pero $X$ puede ser compleja.

Pido disculpas si mi pregunta es muy trivial - no tengo experiencia resolviendo ecuaciones matriciales de este tipo. En caso de que mi pregunta sea un caso especial de alguna teoría establecida desde hace tiempo, por favor, indíqueme un libro o un artículo.

Answer 1

Para soluciones invertibles $X$ se trata de un caso especial del Ecuación Silvestre es decir $AX=A$ cuyas soluciones son bien conocidas. El caso general forma parte del Ecuación de Riccati (con $B=-A$ , $C=D=0$ ) $$ XAX + XB + CX + D = 0. $$ Existen varias referencias sobre la ecuación de Riccati, véase por ejemplo el libro de Peter Lancaster; Leiba Rodman (1995), Algebraic Riccati equation.

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Answer 2

No es una respuesta completa, pero es un intento de empezar:

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Reescribe la ecuación así: $$ XA = XAX \implies\\ XAI - XAX = 0 \implies\\ XA(I - X) = 0 $$ La pregunta ahora es "¿cuándo este producto es igual a cero?".

Por un lado, si alguna de estas matrices es igual a cero, entonces el producto debe serlo. En particular, esto nos da $X = 0$ y $X = I$ como soluciones.

También podríamos tener que el producto de dos matrices consecutivas es cero. Esto ocurre precisamente cuando las columnas de $I-X$ están en el espacio nulo de $A$ o si las columnas de $A$ están en el espacio nulo de $X$ . Son bastante fáciles de caracterizar.

El único caso restante, entonces, es si ningún dos consecutivo se multiplica por cero, pero el producto entero es cero. En concreto, esto significa que ni $X$ ni $X-I$ pueden tener rango completo, de modo que tanto $0$ y $1$ deben ser valores propios de $X$ .

Podemos decir lo siguiente $N$ sea el espacio nulo de $X$ . Las columnas de $A(I-X)$ están todos en $N$ de modo que las columnas de $(I-X)$ debe estar en $A^{-1}(N)$ .

No tengo ni idea de adónde ir a partir de ahí, pero espero que esto ayude.

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Una idea cuando $A$ es invertible:

tenga en cuenta que $A$ tiene raíz cuadrada. Definir $Y = \sqrt{A}X\sqrt{A}$ de modo que la ecuación anterior se convierte en $$ \sqrt{A}^{-1}Y\sqrt{A}^{-1}A(I-\sqrt{A}^{-1}Y\sqrt{A}^{-1}) = 0\implies\\ \sqrt{A}^{-1}Y\sqrt{A}(I-\sqrt{A}^{-1}Y\sqrt{A}^{-1}) = 0 \implies\\ \sqrt{A}^{-1}Y(A-Y)\sqrt{A}^{-1} = 0 \implies\\ Y(A-Y) = 0 $$ Ahora, supongamos que $A$ es diagonalizable con $A = S^{-1}DS$ para invertible $S$ y diagonalizable $D$ . Tenemos $$ Y(A-Y) = 0 \implies\\ S^{-1}Y(A-Y)S = 0 \implies\\ S^{-1}YS\; S^{-1}(A - Y)S = 0 \implies\\ S^{-1}YS \; (S^{-1}AS - S^{-1}Y S) = 0 \implies\\ Z(D - Z) = 0 $$ Donde he definido $Z = S^{-1}YS$ .