¿Hay una representación de la Integral definida $n^n$?

Question

El factorial de $n!$ tiene una buena representación de la integral definida: $$ n!=\Gamma(n+1)=\int_0^\infty t^{n} e^{-t}\, \mathrm{d}t. \! $$ Es posible escribir un integral para $n^n$ así?

Traté de subir con un integrante que reproduce un $n$ factor, $n$-algunas veces, pero sin éxito. No veo una manera de detener el parcial del proceso de integración como en la $n!$ de los casos. Así que esto no puede trabajar aquí y que en la actualidad no se puede pensar de otra manera. Si que ayuda a restringir $n$, siéntase libre de hacerlo.

La única cosa que una que se encuentra en línea hasta ahora es la de Lambert $W$ función, que interviene a la hora de resolver $x^x=z$, pero no estoy seguro de si esto le ayuda.

EDIT: Respuestas con las integrales de la forma $\displaystyle n^n=\int_0^\infty \cdots dt$ son los preferidos.

Answer 1

Esto puede no ser la línea de pensamiento que después, pero da la integral que se desea.

$$n^n=\int_0^n nx^{n-1}\ dx$$

Answer 2

¿Está bien encontrar $s^{-s}$?

$$\frac{\Gamma (\alpha)}{s^{\alpha}}=\int_{0}^{\infty }t^{\alpha-1}e^{-st}dt\tag{1}$$

$$\frac{\Gamma (s)}{s^{s}}=\int_{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-st}dt\tag{2}$$

$$s^{-s}=\frac{1}{\Gamma (s)}\int_{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-st}dt\tag{3}$$

Answer 3

No hay necesidad de que la función W de Lambert , respetando sus límites y el uso de $\Gamma$ obtenemos que

$$ n^{n}=\frac{1}{\Gamma (n+1)}\int_{0}^{\infty }e^{-\frac{t^{ \frac{1}{n}}}{n}} dt $$

Actualización:

La búsqueda de la Integral Exponencial y su relación con la función gamma Incompleta

$$E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma(1-n,x)\tag{1}$$

para $n=1-n$ $x=\frac{1}{n}$ tenemos que :

$$E_{1-n}(\frac{1}{n})=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-\frac{t}{n}}}{t^{1-n}}dt = n^{n}\Gamma (n,\frac{1}{n})\tag{2}$$

Cambiar los límites de integración a $[0,1]$ :

$$\int_{0}^{1}\frac{e^{-\frac{t}{n}}}{t^{1-n}}dt = n^{n}(\Gamma(n)-\Gamma (n,\frac{1}{n}))\tag{3}$$

La combinación de 2+3 obtenemos la solución:

$$n^{n}=\frac{1}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\frac{t}{n}}}{t^{1-n}}dt$$

El primer resultado es debido a la relación :

$$n E_{1-n}(\frac{1}{n})= \int_{1}^{\infty} e^{-\frac{t^{\frac{1}{n}}}{n}} dt\tag{4}$$

Answer 4

La pregunta correcta (que alguien sólo me ha pedido) puede ser como sigue:

Encontrar $f(t)$ (positiva e independiente de $n$) que

$$n^n = \int_0^\infty t^n f(t) \,dt,\quad \forall\,n$$

Es decir, encontrar $f(t)$ tal que $\{n^n\}$ es la secuencia de los momentos de f (t) dt. Se trata de una instancia particular del problema de momento de Stieltjes.

Hay criterio (debido a Carleman) que garantiza que esa solución es única, pero no sé una forma explícita para $f(t)$.