Dado el número de ceros finales de n, averigua los posibles valores de n.

Question

Es bastante sencillo para averiguar el número de ceros finales en n!.

Pero, ¿y si se hace la pregunta inversa?

n! tiene 13 ceros al final, ¿cuáles son los posibles valores de n ?

¿Cómo abordar esta cuestión?

Answer 1

Escriba a $n$ en base $5$ como $n = a_0 + 5a_1 + 25a_2 + 125a_3 + \cdots$ donde $0 \leq a_k \leq 4$ . $$\left\lfloor \dfrac{n}5\right\rfloor = a_1 + 5a_2 + 25a_3 + \cdots$$ $$\left\lfloor \dfrac{n}{25}\right\rfloor = a_2 + 5a_3 + \cdots$$ $$\left\lfloor \dfrac{n}{125}\right\rfloor = a_3 + \cdots$$ Por lo tanto, $$\left\lfloor \dfrac{n}5\right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{25}\right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{125}\right\rfloor + \cdots = a_1 + 6 a_2 + 31 a_3 + \cdots$$ Obsérvese que los coeficientes de los términos de $a_3$ son mayores que $13$ . Puesto que la suma debe darnos $13$ obtenemos que $a_k = 0$ para todos $k \geq 3$ . Por lo tanto, necesitamos encontrar el número de soluciones enteras a $a_1 + 6a_2 =13$ con $0 \leq a_1,a_2 \leq 4$ . La restricción $0 \leq a_1,a_2 \leq 4$ implica además que $a_2$ no puede ser $0$ y $1$ . Por lo tanto, $a_2 = 2$ . Esto nos da $a_1 = 1$ .

Por lo tanto, $n = a_0 + 5a_1 +25a_2 = a_0 + 5 \times 1 + 25 \times 2 = 55+a_0$ donde $a_0 \in \{0,1,2,3,4\}$ . Por lo tanto, los valores deseados de $n$ son $$\{55,56,57,58,59\}$$ La misma idea en principio funcionará cuando el número de ceros final sea cualquier número no sólo $13$ .

Answer 2

Para obtener una buena estimación, tenga en cuenta que el número de $0$ 's es $$\left\lfloor \frac{n}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor \frac{n}{5^2}\right\rfloor+ \left\lfloor \frac{n}{5^3}\right\rfloor+\cdots.$$ Esto es menos que la suma infinita $$\frac{n}{5}+\frac{n}{5^2}+\frac{n}{5^3}+\cdots.$$ La serie geométrica infinita tiene suma $\frac{n}{4}$ . Así que si queremos $z$ ceros al final, entonces $n \gt 4z$ .

Un cálculo mediante $4z$ nos dirá cuánto necesitamos para avanzar de $4z$ . La diferencia entre $\frac{n}{5^k}$ y $\left\lfloor \frac{n}{5^k}\right\rfloor$ es siempre inferior a $1$ . Así que la cantidad que podemos necesitar para seguir adelante para encontrar la adecuada $n$ (si la hay) es logarítmica en $z$ .

Tenga en cuenta que el primer $n$ que funciona (si existe) es múltiplo de $5$ . Y entonces $n+1$ , $n+2$ , $n+3$ y $n+4$ son los otros.

Según este criterio, cuando $z=13$ nuestro primer candidato es $55$ el primer múltiplo de $5$ après $(4)(13)$ y funciona. Por lo tanto $56$ , $57$ , $58$ y $59$ y eso es todo.

Los cálculos son igualmente sencillos para $z$ hasta unos cientos. Calcular el número de $0$ para el primer múltiplo de $5$ superior a $4z$ y realice los pequeños ajustes necesarios.

Answer 3

Si N es un número, el número de ceros al final de N es

N/5 + N/5^2 + N/5^3 ..... N/5^(m-1) WHERE (N/5^m)<1

Puedes aprender aquí cómo viene esta fórmula.