Vamos $(a_n)$ ser una secuencia de números reales.
Aquí está la prueba para el caso $|f(n)| \to \infty$.
Escribir $$\left\lfloor \frac{n}{|a_k|}\right\rfloor = \frac{n}{|a_k|} - \delta_{k,n},$$
donde $0 \leq \delta_{k,n} < 1$. Sustituyendo esto en la suma obtenemos
$$\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n} s_k \left\lfloor \frac{n}{|a_k|}\right\rfloor &= \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{n}{a_k} - s_k \delta_{k,n}\right) \\
&= n \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} - \sum_{k=1}^{n} s_k \delta_{k,n}.
\end{align*}$$
Se puede obtener un crudo límite en el derecho de la suma,
$$\left|\sum_{k=1}^{n} s_k \delta_{k,n}\right| \leq \sum_{k=1}^{n} \delta_{k,n} < n,$$
así que
$$\sum_{k=1}^{n} s_k \left\lfloor \frac{n}{|a_k|}\right\rfloor = n \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} + O(n).$$
Así
$$\frac{\sum_{k=1}^{n} s_k \left\lfloor \frac{n}{|a_k|}\right\rfloor}{n f(n)} = \frac{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}}{f(n)} + O\left(\frac{1}{f(n)}\right) \a 1.$$
Q. E. D.
Edit: he Aquí la prueba de otro caso. Definir $M(n)$ a ser la menos entero, si es que existe, tal que $n < |a_k|$ para todo $k > M(n)$.
La proposición. Supongamos que
$0 < C \leq |f(n)|$ para $n$ lo suficientemente grande,
$n/a_n = o(1)$,
$M(n) = o(n)$,
$f(n) \sim b\,f(M(n))$ para algunas constantes a $b$.
Entonces $$\sum_{k=1}^{n} s_k \left\lfloor \frac{n}{|a_k|}\right\rfloor \sim n f(n).$$
Tenga en cuenta que dado que $n/a_n \to 0$, $M(n)$ existe y $M(n) \to \infty$.
Prueba. Definimos $\delta_{k,n}$ como el anterior. La suma se convierte en
$$\sum_{k=1}^{n} s_k \left\lfloor \frac{n}{|a_k|}\right\rfloor = n \sum_{k=1}^{M(n)}\frac{1}{a_k} - \sum_{k=1}^{M(n)} s_k \delta_{k,n}.$$
Volvemos a tener una vaga límite en el derecho de la suma,
$$\left|\sum_{k=1}^{M(n)} s_k \delta_{k,n}\right| < M(n),$$
y así
$$\frac{\sum_{k=1}^{n} s_k \left\lfloor \frac{n}{|a_k|}\right\rfloor}{b n f(M(n))} = \frac{\sum_{k=1}^{M(n)} \frac{1}{a_k}}{b, f(M(n))} + O\left(\frac{M(n)}{n}\right) \a 1.$$
Por lo tanto $$\sum_{k=1}^{n} s_k \left\lfloor \frac{n}{|a_k|}\right\rfloor \sim b n f(M(n)) \sim n f(n).$$
Q. E. D.
Corolario. Supongamos que
$a_n > 0$ para todo $n$,
$\sum 1/a_n < \infty$,
$M(n) = o(n)$.
Entonces $$\sum_{k=1}^{n} \left\lfloor \frac{n}{a_k}\right\rfloor \sim n f(n).$$
Vamos a escribir "$n$C" para referirse a la condición $n$ en el corolario, y "$n$P" para referirse a la condición $n$ en la proposición.
Prueba. Condiciones 1C y 2C implica 2P inmediatamente. Además, se puede escribir $$f(n) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{a_k} + o(1)$ de$ lo que implica condiciones de 1P y 4P.
Q. E. D.
Como una aplicación de la anterior corolario, la totalidad de los $p$-series tiene la propiedad deseada. Hacemos un llamamiento a la proposición para ver que todos los verdaderos serie geométrica (excepto $\sum (-1)^n$) también tiene la propiedad deseada. El resultado entonces es verdadera para todas las series que no convergen a $0$ cuya convergencia se puede deducir por la comparación con un $p$-serie o una serie geométrica.
Edit 2: yo sólo quería añadir a esto que no es un resultado interesante, por H. Shapiro que puede ser pensado como un parcial contrario a la idea de que estamos discutiendo aquí. El resultado es probado y utilizado posteriormente para obtener un resultado en el orden de la primer función de conteo en este documento.
He estado sólo la parte pertinente aquí.
La Proposición (Shapiro). Vamos $(a_n)$ ser no negativo secuencia tal que $$\sum_{k=1}^{n} a_n \left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor = n \log n + O(n)$$ para todo $n \geq 1$. Entonces $$\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k} = \log n + O(1).$$
