Fórmula de panadero-Campbell-Hausdorff $\log(\exp(X+Y)\exp(X-Y))$

Question

Dado $X,Y\in \mathfrak g\mathfrak l_{\mathbb R}(n)$, y la CBH fórmula para $\log(\exp X\exp Y)$ (wiki), es posible obtener el término general de la serie de $\log(\exp(X+Y)\exp(X-Y))$ que consisten únicamente en un número impar de $X$? Incluso el término debería desaparecer desde $f(X):=\log(\exp(X+Y)\exp(X-Y))$ es una función impar.

Pregunta adicional:

Si esto puede ser resuelto de una forma agradable, también me gustaría tener un resultado similar para $\log(\exp(X+Y)\exp(Z)\exp(X-Y))$. En este caso, sólo los términos que involucran un número impar de $X$'s y/o $Z$'s permanecen.

Answer 1

Ver 4.29 (en la página 54)

• Peter W. Michor: Temas de geometría diferencial. Estudios de posgrado en matemáticas, sociedad matemática americana Vol. 93, Providencia, 2008. (pdf)

de fórmulas completas que participan el las condiciones generales de la fórmula BCH. Puede usar esto para derivar algunas expresiones de la fórmula que desee.