Ejemplos de familiar, colectores fácil visualizar que admite encuentran estructuras de grupo

Question

Tengo un problemas en el aprendizaje de la Mentira de grupos --- yo no tengo ningún ejemplo canónico de imaginar mientras que el pensamiento de una Mentira grupo. Cuando me imagino a un colector es generalmente de algún tipo de $2$D manta o un círculo/curva o una esfera, un toro etc.

Sin embargo tengo un problema en visualizar una Mentira grupo. El mejor pensé es $SO(2)$ que como tengo entendido sólo un círculo. Pero un círculo aparentemente carece de distinguidos puntos así que supongo que no hay manera de canónicamente prescribir un elemento neutro para activar un círculo en un grupo de $SO(2)$.

Los ejemplos que vi hasta el momento de inicio de un grupo, lo describen como un grupo de matrices para mostrar que el grupo está dotado de la estructura de un colector. Agradecería la otra forma --- dado un colector de mostrar que se es, naturalmente, un grupo. Y un colector debe ser fácilmente imaginable.

Answer 1

Un buen ejemplo es el #%-esfera de $3$% #%. En mi mente, pienso en esto ante todo como una entidad geométrica y ciertamente personas estaban considerando esferas antes de que comenzaran a pensar en grupos. Como ustedes saben, $\mathbb{S}^3$ puede ser hecho en un grupo mediante la identificación con el sistema de quaternions de la unidad

$\mathbb{S}^3$$

Entonces, la estructura del grupo en $$\{ q \in \mathbb{H}: \lVert q \rVert = 1\}$ se hereda de la estructura del grupo de los cuaterniones, que $\mathbb{S}^3$ un grupo de Lie.

Answer 2

Encuentro $\mathbb{R} - \lbrace 0 \rbrace$ un ejemplo útil para pensar acerca de los grupos de mentira que no están conectados.

Podemos ver que $(0,\infty)$ es un subgrupo normal. También vemos que cualquier barrio de la identidad puede generar este subgrupo.

Answer 3

Algunos ejemplos importantes son:

• Cualquier finito-dimensional espacio vectorial $(\mathbb{V}, +, \cdot)$ $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ es una Mentira grupo en adición a $+$; esto incluye, en particular los espacios familiares $\mathbb{R}^n$.

• Cualquier espacio Euclidiano $\mathbb{R}^n$, $n > 1$ admite más de una estructura de grupo hasta el isomorfismo. Por ejemplo, $$(x, y) \ast (x', y') := (x + x',e^{x'} y + y')$$ defines a group structure on $\mathbb{R}^2$, isomorphic to the group $\mathbb{R}^* \rtimes \mathbb{R}$ of affine transformations $t \mapsto t + b$ with positive slope $un$ under composition. The operation $$(x, y, z) \star (x', y', z') = (x + x', y + y', z + z' + xy')$$ defines a group structure on $\mathbb{R}^3$, and this is usually called the Heisenberg $3$-group. It's easy to verify that both $\ast$ and $\estrellas$ are nonabelian, and so define group structures nonisomorphic to the familiar structures $(\mathbb{R}^n, +)$. En particular, esto muestra que, si bien sin duda podemos preguntar si una determinada colector tiene una estructura de grupo, en general, no se puede ser más de uno.

• Cualquier toro $\mathbb{S}^1 \times \cdots \times \mathbb{S}^1$ es una Mentira grupo en el producto directo de la multiplicación; esto es sólo un cociente de $(\mathbb{R}^n, +)$$\mathbb{Z}^n$.

• Isaac ha señalado en otra respuesta (que incluyo aquí para cierta apariencia de integridad) que $\mathbb{S}^3$ admite una estructura de grupo de Lie, que podemos pensar como el grupo de la unidad de cuaterniones bajo quaternionic la multiplicación. Con frecuencia llamamos a este grupo $SU(2)$, que podemos pensar en el grupo de la preservación de una Hermitian formulario y un (compatible) compleja forma de volumen en $\mathbb{R}^4 \cong \mathbb{C}^2 \cong \mathbb{H}$, que de esta manera podemos identificar explícitamente con el grupo de matrices $A \in GL(2, \mathbb{C})$ satisfacción $A^* A = I_2$$\det A = 1$.

• El real proyectiva del espacio $\mathbb{RP}^3$ admite un grupo natural de la estructura, a saber, que el grupo ortogonal $SO(3, \mathbb{R})$. Uno puede ver esto en el ejemplo anterior, si uno se identifica $\mathbb{S}^3$ con el doble de la cubierta $Spin(3, \mathbb{R})$ $SO(3, \mathbb{R})$.

• Por el ejemplo anterior el producto $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$ puede ser dada la estructura de grupo $SU(2) \times SU(2)$ (o $Spin(3) \times Spin(3)$), pero (en una característica exclusiva de esta dimensión), este grupo es isomorfo a $Spin(4)$; por lo tanto, podemos considerar $SO(4, \mathbb{R})$ (que es el doble cubierto por $Spin(4, \mathbb{R})$) como un cociente de $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{S}^3$, es decir, aquella dada por la identificación de un par de $(x, y)$ con su "doble antípodas" $(-x, -y)$.

• El perforado de los espacios $\mathbb{R}^*$, $\mathbb{C}^*$, $\mathbb{H}^*$ son todos los grupos en virtud de la multiplicación; en particular, $\mathbb{C}^*$ a veces se llama $CSO(2, \mathbb{R})$, y el grupo de los orientados a la conformación transformaciones lineales de $\mathbb{R}^2$, esto es, la preservación de los ángulos.

• Nosotros, naturalmente, puede dar al interior de la $\mathbb{D} \times \mathbb{S}^1$ de un sólido toro (aquí $\mathbb{D}$ es la de abrir la unidad de disco) de una estructura de grupo mediante la identificación de un par de $(a, \zeta)$ con la conformación isomorfismo $\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ definido por $$z \mapsto \zeta \frac{z - a}{1 - \bar{a} z};$$ estos gases de escape tales isomorphisms, y así este grupo (en composición) es isomorfo a $PSL(2, \mathbb{R})$.

• Trivialmente, cualquier estructura de grupo en el conjunto subyacente de una $0$-colector es automáticamente suave y, por tanto, define una estructura de grupo de Lie.

• Un importante nonexample: La esfera de $\mathbb{S}^2$ admite no Mentira estructura de grupo; de hecho, la única esferas que admitir Mentira grupos se $\mathbb{S}^n$$n = 0, 1, 3$. (El $7$-esfera $\mathbb{S}^7$ viene de cierre---se admite una estructura de bucle con una suave operación dada por octonionic multiplicación, pero esta operación no asociativo y así no se puede definir una estructura de grupo.)

Answer 4

Creo que de $SO_2$ como el grupo de $2\times 2$ rotación de matrices:

$$ \left[\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right]$$

o el grupo de los números complejos de la unidad de longitud $e^{i\theta}$.

Usted puede convencerse a sí mismo directamente a partir de las definiciones que cualquiera de estos objetos es un grupo en el correspondiente multiplicación, y que son isomorfos a cada uno de los otros.

Este grupo (que se presenta en dos formas) es una 1-variedad porque no admite suave parametrización de una variable ($\theta$ aquí).

¿Por qué este grupo representan el círculo de $S^1$? Así, las matrices de la forma de arriba son simetrías de círculos sobre el origen de $\mathbb{R}^2$, y el rastro de $e^{i\theta}$ es el círculo unitario en el plano complejo. Creo que lo mejor es conceptualmente a pensar en la Mentira de los grupos de primero como de los grupos y, a continuación, desarrollar la intuición geométrica "sabor" de su algebraica de la construcción.