Encontrar $\cos(x+y)$ $\sin(x)+\sin(y)= a$ y $\cos(x)+\cos(y)= b$

Question

Encontrar $\cos(x+y)$ $\sin(x)+\sin(y)= a$ y $\cos(x)+\cos(y)= b$.

Answer 1

Un enfoque usando números complejos/geometría:

Si $c = b + ia$, y si $z = \cos x + i \sin x$$z_1 = c - z = \cos y + i \sin y$, usted está buscando en la parte real de la $w = \cos(x+y) + i \sin (x+y) = zz_1 = z(c-z)$ con la restricción de que el $|z| = 1$$|z_1| = |c - z| = 1$.

Ahora, los puntos de satisfacciones $|z| = 1$ $|c-z| = 1$ está dado por la intersección de dos círculos: uno centrado en el origen y en el otro a $c$.

Por lo tanto $w = z(c-z)$ es una constante que sólo depende de $c$: es el producto de los dos puntos de intersección y puede ser calculada fácilmente de la siguiente manera:

Cada punto de intersección puede ser escrito como $\dfrac{c}{2} \pm d$ donde $d$ es perpendicular a $c$ (por Qué?) es decir, $d = kic$ para algunas constante real $k$. (Por qué?) (Podría ser de ayuda para dibujar una figura aquí).

Por consiguiente, el producto de los puntos de intersección es $w = (\dfrac{c}{2} + d)(\dfrac{c}{2} - d) =\dfrac{c^2}{4} + k^2 c^2$.

Esto implica que $w$ es un múltiplo de a $c^2$ y el argumento de $w$ es el doble que la de $c$. Desde $|w| = 1$, $w$ puede ser calculada fácilmente sin tener que preocuparse de $k$.

Llegamos $w = \cos 2 \alpha + i \sin 2 \alpha$ donde $\alpha = \tan^{-1}(\frac{a}{b})$.

PS: Nos encontramos con que $|c|^2(1/4 + k^2) = 1$ y, por tanto,$d = (\sqrt{\frac{1}{|c|} - \frac{1}{4}})\ i c$, por lo que fácilmente podemos resolver el sistema de ecuaciones: es decir, encontrar $\cos x, \cos y, \sin x, \sin y$

Answer 2

Deben ayudarle a las identidades siguientes: $$ \tan \bigg(\frac{{x + y}}{2}\bigg) = \frac{{\sin x + \sin y}} {{\cos x + \cos y}} $$ y $$ \tan \bigg(\frac{{x + y}}{2}\bigg) = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos (x + y)}} {{1 + \cos (x + y)}}}. $$

Answer 3

Si conoces la identidad $$\displaylines{\sin x+\sin y=2\sin{x+y\over2}\cos{x-y\over2}\cr\cos x+\cos y=2\cos{x+y\over2}\cos{x-y\over2}\cr\tan2A={2\tan A\over1-\tan^2A}\cr}$$ then dividing the first one by the second one you get $$\tan{x+y\over2}={a\over b}$$ whence the third one gives $$\tan(x+y)={2(a/b)\over1-(a/b)^2}$$ Now looking at a right triangle shows that if $\tan B=u/v$ then $\cos B=v/\sqrt{u^2+v^2}$, so with a little algebra you get $$\cos(x+y)={1-(a/b)^2\over1+(a/b)^2}={b^2-a^2\over b^2+a^2}$$

Si no sabes las dos primeras identidades, provienen de las identidades $\sin(r\pm s)$ y $\cos(r\pm s)$.