En este post de matemáticas, "¿Qué es la convolución intuitiva?" , El de Terence Tao responder a (en el caso de que una de las funciones sea una función de choque) implica "borrosidad" y "pelusa".
¿Podría alguien aclarar su interpretación más explícitamente? La intuición todavía se me escapa. ¡Gracias!
Considere una función $f_1$ : $$f_1(x)= \delta (x)$$ donde $ \delta (x)$ es el delta del Dirac, y una función gaussiana $g(x)$ : $$g(x)= \frac1 { \sigma\sqrt {2 \pi }} \exp\left (- \frac {x^2}{2 \sigma ^2} \right ).$$ Una de las principales propiedades del delta del Dirac es esta: $$ \int_ {- \infty }^ \infty q(x) \delta (x-x_0)dx=q(x_0). \tag1 $$ Así, la convolución de $f_1$ y $g$ será igual a $g$ . Veamos cómo se ve. $f_1$ es rojo, $f_1*g$ es azul):
Se puede ver el efecto de 'borrosidad' de los gaussianos conviviendo con un delta del Dirac. Ahora consideremos una función más compleja: $$f_2(x)= \sum_ {i=-N}^N a(x_i) f_1(x-x_i) \Delta x_i. \tag2 $$ $ \Delta x_i$ aquí está el paso en $x$ es decir. $ \Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ . Lo necesitaremos más tarde. Tomaremos $ \Delta x_i= \Delta x_j\; \forall x,j \in\mathbb {Z}$ entonces puede ser visto como sólo un coeficiente antes de la suma.
Aquí hay una trama de $f_2$ y $f_2*g$ ( $f_2$ es rojo, $f_2*g$ es azul): 
Aquí también se puede ver que el resultado de la convolución de un gaussiano con una suma de deltas de Dirac le da una versión borrosa de la función original. Es fácil generalizar $f_2$ a una suma de infinitos números de deltas con $N \to\infty $ : $$f_{2a}(x)= \sum_ {i=- \infty }^ \infty a(x_i)f_1(x-x_i) \Delta x_i.$$
$f_{2a}(x)$ se asemeja a una suma de Riemann. Usemos esto y tomemos el límite $ \Delta x_i \to0 $ : $$f_3(x)= \lim_ { \Delta x_i \to 0}f_{2a}(x)= \int_ {- \infty }^ \infty a(t)f_1(x-t)dt \equiv\int_ {- \infty }^ \infty a(t) \delta (x-t)dt. \tag3 $$ De $(1)$ , $$f_3(x)=a(x).$$ En $(3)$ después de tomar el límite $x_i$ se convierte en $t$ y $ \Delta x_i$ se convierte en $dt$ . $ \Delta x_i$ es necesario para atenuar gradualmente la amplitud del delta del Dirac como $ \Delta x_i \to 0$ de modo que en el límite se vuelve finito, resultando en una función finita.
Aquí hay una trama de $f_3$ y $f_3*g$ ( $f_3$ es rojo, $f_3*g$ es azul):
Esta es finalmente la convolución de una función habitual con un gaussiano, que todavía se asemeja al desenfoque, pero es algo menos obvio.
También hay que tener en cuenta que desde que $p*q=q*p$ también podrías empezar desde un delta del Dirac, representando $g(x)$ como una suma de escalado y traducido $ \delta (x)$ y obtener el mismo resultado sumando $a(x)$ está escalado por $g(x_i)$ en lugar de $g(x)$ está escalado por $a(x_i)$ .
Sólo responderé este comentario ya que el resto parece haber sido abordado satisfactoriamente.
Primero tenemos que entender la afirmación "las funciones son versiones borrosas de los puntos". Lo que esto dice es que la apoyo de una función no es un único punto, sino muchos. Considere $f$ siendo un distribución del soporte compacto que escribimos $f \in \mathcal {E}'$ (si no estás familiarizado con la teoría de la distribución, piensa en funciones integrables localmente con soporte compacto por ahora). Ya que las proyecciones de las coordenadas $(x_1, \ldots ,x_n) \mapsto x_i$ son $C^ \infty $ funciones, tenemos que el emparejamiento $$ \langle f,x_i \rangle \tag {CoM}$$ está bien definido. (En términos de funciones integrables localmente, piense en la ecuación (CoM) como $ \int_ { \mathbb {R}^n} x_i f(x) \mathrm {d}x$ . Desde $f$ tiene un soporte compacto que converge en la integral).
Esto permite como definir el centro de masa para cada $f \in \mathcal {E}'$ . Es decir, que $ \mu : \mathcal {E}' \to \mathbb {R}^n$ ser la cartografía $$ \mu (f) = \frac {1}{ \langle f,1 \rangle } \left ( \langle f,x_1 \rangle , \langle f,x_2 \rangle , \ldots , \langle f,x_n \rangle\right )$$
Obviamente $ \mu $ no es inyectable: múltiples funciones/distribuciones pueden tener el mismo centro de masa. Es en este sentido que las funciones son "versiones difusas" de los puntos: piense en $f \in \mathcal {E}'$ con la masa $ \langle f,1 \rangle = 1$ como algo que es como el punto $ \mu (f)$ pero se extendió un poco en el espacio.
Ahora deja que $f,g \in \mathcal {E}'$ . Su convolución está bien definida. (Ver el enlace de Wikipedia arriba.) Tenemos la caracterización de que para cualquier función suave $ \phi $ la convolución satisface $$ \langle f*g, \phi\rangle = \langle f, \psi\rangle $$ donde $$ \psi (y) = \langle g, \tau_ {-y} \phi\rangle $$ En términos de funciones integrables esto sólo dice que $$ f*g(x) = \int f(x-y)g(y) \mathrm {d}y $$ la definición habitual.
Ahora, un cálculo directo muestra que $$ \mu (f*g) = \mu (f) + \mu (g) $$ Esto se puede comprobar fácilmente usando la definición de funciones integrables también: $$ \int x_i f*g(x) \mathrm {d}x = \iint x_i f(x-y) g(y) \mathrm {d}y \mathrm {d}x = \iint (z_i + y_i) f(z) g(y) \mathrm {d}z \mathrm {d}y = \int g(y) \mathrm {d}y \int f(z)z_i \mathrm {d}z + \int f(z) \mathrm {d}z \int y_i g(y) \mathrm {d}y $$
Es decir: cuando convives dos funciones/distribuciones, añades su centro de masa. Así que si tratas $f \in \mathcal {E}'$ como versiones difusas de los puntos, la convolución es su ley natural de "adición de vectores".
Por último, sepan que la función del delta del Dirac $ \delta_x\in \mathcal {E}'$ . ¡Corresponden a los puntos agudos (no difusos) reales!
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
