¿Por qué es tensoring un functor? En los objetos, sólo se define hasta el isomorfismo... también los productos de fibra de...

Question

Mi queja es sobre todo que el producto tensor sólo está definida hasta el isomorfismo, pero un functor necesita enviar objetos a los objetos, no sólo para clases de isomorfismo.

Mi conjetura sería que esto se resuelve, en principio, debido a la forma canónica de la construcción el producto tensor (como ciertos formal de símbolos, modulo algunas de las relaciones de equivalencia), y esto me satisface, al menos en la categoría de anillos o módulos. Sin embargo, estoy realmente esta pregunta porque estoy tratando de entender los productos de fibra de esquemas de mejor, y me gustaría decir algo como $X \times _Z \_$ es un functor en la categoría de $Z$ esquemas...

pero no estoy seguro de que esto tiene sentido, porque ahora parece que hay un montón de opciones en cuanto a cómo se puede construir el producto de fibra $X \times_Z Y$ - $X$, $Y$ y $Z$ pueden ser cortados en cuñados de muchas maneras diferentes, y yo no soy lo suficientemente cómodo con encolado para tranquilizar a mi mismo que el resultado de la fibra del producto es siempre el mismo.

Sé que esto es una especie de pedante pregunta, pero me gustaría un poco de orientación por favor. Esta historia no es tan claro para mí que me gustaría.

Answer 1

Si quieres un honesto functor, usted puede simplemente elegir cualquier representante de la isomorfismo de la clase en cuestión; no tiene que ser "canónica". Es decir, para cada par de $(X,Y)$ $Z$- planes, usted puede elegir algunos triples $(P_{X,Y},p_{X,Y},q_{X,Y})$ donde $P_{X,Y}$ $Z$- esquema y $p_{X,Y}:P_{X,Y}\to X$ $q_{X,Y}:P_{X,Y}\to Y$ son mapas de $Z$-planes que satisfacen la definición de un producto de fibra. No es entonces un functor $F:Sch/Z\times Sch/Z\to Sch/Z$ que en los objetos está dado por $F(X,Y)=P_{X,Y}$ y en los mapas se da de la siguiente manera. Le da un par de mapas de $f:X\to X'$$g:Y\to Y'$, el universal, propiedad de $P_{X',Y'}$ significa que no hay un único mapa de $h:P_{X,Y}\to P_{X',Y'}$ tal que $p_{X',Y'}h=p_{X,Y}$$q_{X',Y'}h=q_{X,Y}$. Definir $F(f,g)=h$. Se puede comprobar que esta definición realmente no conserva la composición.

(En el argumento de que están tratando de comprender, en lugar de la construcción de este functor para todos los $X$ $Y$ a la vez, en primer lugar, construir en el pleno de la subcategoría de $Sch/Z\times Sch/Z$ en el que ambos objetos son afines, y, a continuación, en el pleno de la subcategoría en la que al menos uno de los objetos es afín.)

En general, la elección de un triple $(P_{X,Y},p_{X,Y},q_{X,Y})$ simultáneamente para cada $X$ $Y$ (en algunos arbitraria categoría) puede requerir alguna forma de que el axioma de elección. Sin embargo, en muchos casos, no es un simple "canónica" de la opción que usted puede hacer sin el axioma de elección (como la "canónica" de la construcción del tensor de productos que usted menciona). Pero incluso cuando no hay un claro "canonical" para hacer la construcción, todavía hay generalmente trucos que puedes hacer con el Axioma de Regularidad para obtener una definición explícita del functor en el marco de la teoría de conjuntos ZF (en particular, usted puede hacer esto para los productos de fibra de esquemas). Me puede decir más acerca de estos trucos si usted está interesado, pero involucran algunos bastante detalles técnicos acerca de la teoría de conjuntos axiomática.

Answer 2

El producto tensor se define hasta canónica de isomorfismo, que es diferente de ser definida hasta isomorfismo: hay un universal mapa de $M\times N \to M\otimes N$ a través de la cual cualquier bilineal mapa de $M \times N \to R$ factores, y si te dan una construcción del tensor de producto (por ejemplo, generadores y relaciones), y yo se lo doy a otro (e.g.tal vez me universalmente añadir un extra de generador, por ninguna razón y, a continuación, agregue una relación que hace que sea 0), esta característica universal va a precisar un canónica isomorfismo entre nuestras construcciones. Como resultado, no hay ambigüedad en la redacción del functor $A \otimes \_\_$, dicen.