¿Cómo los diferentes nociones de "distribución" se relacionan uno con el otro?

Question

En la lectura de "Análisis Real: Técnicas Modernas y Sus Aplicaciones" (Folland), me he encontrado con un par de diferentes nociones de "distribución" o "distribución de funciones."

• La función de distribución de un número finito de medida de Borel $\mu$ $\mathbb{R}$ está definido por $F(x) = \mu((-\infty, x])$.

• La función de distribución de una función medible $f\colon X \to \mathbb{R}$ en una medida de espacio $(X, M, \mu)$ es una función de $\lambda_f\colon (0,\infty) \to [0,\infty]$$\lambda_f(\alpha) = \mu(\{x\colon |f(x)| > \alpha\})$.

• Una distribución en un conjunto abierto $U \subset \mathbb{R}^n$ es una funcional lineal continua en $C^\infty_c(U)$.

¿Hay algún tipo de relación entre estos conceptos?

Answer 1

Los dos primeros usos vino de la teoría de la probabilidad, y están de alguna manera relacionados como terminlogy. Ellos son, sin embargo, que yo sepa, no se relacionan en absoluto con el tercer concepto.

En particular, dado un medibles mapa de $f:(X,M)\to(\mathbb{R},\mathcal{B})$, y una medida $\mu$ en $(X,M)$. $f$ (o supongo que $|f|$ en su caso) define un empuje hacia adelante de medida $f_*\mu$ $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ por la definición que, para cada $b\in\mathcal{B}$ el Borel sigma-álgebra, $f_*\mu(b) = \mu(f^{-1}(b))$. Entonces la función de distribución de $\lambda_f$ es algo como $1- F$ para la función de distribución correspondiente a la pushforward medida de Borel $|f|_*\mu$. (1 debe ser reemplazado por la masa total de la medida $|f|_*\mu$ cuando no es una medida de probabilidad.)

Consulte el sitio web Earlist Usos Conocidos de algunas de las Palabras de las Matemáticas para algunas referencias de lo que escribo a continuación.

Ahora, la distribución en el sentido de que el continuo lineal funcional es introducido por Laurent Schwartz, en francés. En francés, sin embargo, la función de distribución de su medida de Borel (o de su función medible) que se llama "la función de répartition", lo que sugiere fuertemente que Schwartz elección de la terminología es completamente independiente de la probabilidad y teoría de la medida los usos de las palabras.

En alemán, el idioma en el que "las funciones de distribución" se introdujo el concepto probabilístico es Verteilungsfunktion, mientras que la funcional analítica concepto es tomado directamente del francés/inglés como en la Distribución.

El anterior todo indica fuertemente que mientras sentidos 1 y 2 están relacionados, son distintos para el 3er uso de la palabra de distribución. De hecho, el inglés es uno de los (tal vez pocos) infeliz idiomas en los que coinciden.

(Sólo para confundir aún más, también hay un uso de la palabra la distribución en la geometría diferencial, que también significa algo completamente diferente y distinto de los tres sentidos que aparecen más arriba.)

Answer 2

Vamos a considerar la relación entre las dos primeras nociones. Es conveniente y natural considerar esta en una probabilidad de configuración, por lo que el total de la medida es $1$.

La primera noción. Supongamos que $X$ es una variable aleatoria en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},P)$. Definir $\mu$ como sigue. Para cualquier $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, $\mu(B)=P(\lbrace\omega : X(\omega) \in B\rbrace)$. El lado derecho está escrito en el corto como $P(X \in B)$. A continuación, $\mu$ es una medida de probabilidad en $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, lo que llamamos la distribución de $X$. Ahora, la función de $F:\mathbb{R} \to [0,1]$ definido por $F(x) = \mu((-\infty,x])$ se llama a la función de distribución de $X$. Tenga en cuenta que $F(x) = P(X \in (-\infty,x]) = P(X \leq x)$, como sería de esperar. Por supuesto, $F$ satisface todas las propiedades habituales de la teoría de la probabilidad.

La segunda noción. Primero vamos a cambiar la notación, de conformidad con el anterior concepto, de la siguiente manera. La función de distribución de una variable aleatoria (es decir, una función medible) $X: \Omega \to \mathbb{R}$ sobre un espacio de probabilidad (es decir, una medida de espacio, con un total de medir $1$) $(\Omega,\mathcal{F},P)$ es una función de $\lambda_X:(0,\infty) \to [0,1]$$\lambda _X (\alpha ) = P(\lbrace \omega :|X(\omega )| > \alpha \rbrace )$. Como antes, el lado derecho está escrito en el corto como $P(|X| > \alpha)$.

La relación entre los dos primeros conceptos, se estableció (en la configuración de espacios de probabilidad). Específicamente, $$ \lambda _X (\alpha ) = P(|X| > \alpha) = P(X > \alpha) + P(X < -\alpha) = [1 - F(\alpha)] + F(-\alpha^-), $$ donde $F(-\alpha^-)=\lim _{s \uparrow -\alpha } F(s)$ (recordemos que $F$ es de derecha continua con la izquierda límites).