CW-estructuras y funciones de Morse: un de referencia de la solicitud

Question

El siguiente es probablemente muy bien conocida, pero yo no era capaz de encontrar una referencia en la literatura.

1. Deje $f$ ser una función de Morse en un suave compacto colector $M$ sin límite y deje $\rho$ ser una métrica de Riemann en $M$. Como se explica en Milnor del Morse de la teoría y de muchas otras fuentes, a partir de $f$ $\rho$ podemos construir un CW-complejo de $M'$ homotopy equivalente a $M$. Sin embargo, parece natural preguntarse si $f$ da un CW-estructura en $M$ sí, decir, que el correspondiente celular complejo de cadena es isomorfo al celular complejo de cadena de $M'$. Hay alguna referencia para que (de preferencia, que incluye información detallada de las pruebas)?

2. Para un genérico elección de la pareja $(\rho,f)$ se puede construir un complejo de cadena (que creo que se llama el Morse y complejo) que calcula la homología de $M$. ¿Cuál es el estándar de referencia para que? Esto es, implícitamente, hecho en Milnor h-cobordism libro, capítulo 7. Es cierto que el Morse complejo es isomorfo al celular complejo de cadena de $M'$ a partir de la pregunta 1?

upd: la versión original de la publicación contenía algo de muy mal reclamaciones y tuvo que ser reescrito.

upd1: parte restaurada de la pregunta 2 de la publicación original. Yo lo borré pensando que sería trivial, pero parece que no lo es.

Answer 1

El resultado que se busca es el Teorema 4.18 en "Una Introducción a Morse Teoría" de Yukio Matsumoto, publicado por AMS en el año 2002 (traducido del Japonés). Las conexiones entre las funciones de Morse, manejar estructuras, y CW estructuras complejas son todo explicado aquí. La asignación de los cilindros de jugar un papel clave en la prueba del teorema, el cual es similar en espíritu a lo que Ryan señaló en su respuesta. Este capítulo del libro también cubre la conexión a los complejos de la cadena, el Morse de las desigualdades, y la dualidad de Poincaré. Se ve como una buena exposición, aunque no he intentado leer de cerca.

Answer 2

Estoy confundido acerca de tu 2ª pregunta. Milnor del Morse teoría hace uso de una métrica de Riemann -- que usa el gradiente de flujo. Para definir el gradiente que necesita un producto interior sobre la tangente espacios. Sin el flujo de gradiente usted no tiene el celular de la fijación de los mapas.

Con respecto a tu 1ª pregunta, hay algo que es mucho mejor que un CW-estructura. Una función de Morse le da un identificador de descomposición del colector. Esto puede ser usado para hablar de la suave estructura. Un CW-descomposición es relativamente degenerar en comparación. El mango de la descomposición se describe en Milnor h-cobordism notas.

Tomando tu 1ª pregunta más en serio, estás en problemas técnicos. El gradiente de flujos no darle un CW-descomposición de la múltiple -- por ejemplo, considere la posibilidad de Milnor de Morse Teoría de ejemplo de un toro con la altura de la función. La función de Morse y su gradiente de flujos te da un auténtico 1-esqueleto (figura 8). Pero la fijación de mapa para el 2-celda (a la de la figura 8) no es una función continua si utiliza el gradiente de flujo-todos los puntos, excepto para los dos, el mínimo global de la altura de la función. Esto muestra el tipo de problemas que puede encontrar si usted desea producir un auténtico CW-descomposición del colector.

Así que si no vas a utilizar únicamente el gradiente de flujos para definir la fijación de los mapas para la propuesta de CW-descomposición, lo que le permite? Todo liso colectores de admitir CW-descomposición por lo que si usted permite que suficiente ajustar por supuesto, usted puede solucionar este de la construcción, pero si permite que "demasiado" de ajuste, la CW-descomposición no ser un invariante de la función de Morse.

edit: Aquí es una manera de modificar el proceso. El gradiente de flujo da una genuina 1-esqueleto. Así que toma regular de la vecindad de el 1-esqueleto, y perturban el vector original de campo en esta vecindad a punto hacia el 1-esqueleto. Esto hace que el 2-celda adjuntar mapas continua (que termina en una cantidad finita de tiempo). A continuación, tomar una regular barrio de la 2-esqueleto, y perturban el campo vectorial a punto hacia la 2-esqueleto. De nuevo, las líneas de flujo de terminación en finito de tiempo para obtener genuina de 2 células adjuntar mapas. El problema con esto es que usted está consiguiendo un CW-descomposición pero depende más de la función de Morse como usted necesita para elegir suave regular los barrios de la skeleta.

Answer 3

Para el 2, me voy a hacer la simplificación de la suposición de que $f$ es "débilmente auto-indexing", es decir, que si $c_1$ $c_2$ son puntos críticos con $ind(c_1)\geq ind(c_2)$$f(c_1)\geq f(c_2)$. Esto significa que las células se adjuntan en el "derecho" de la orden.

Yo reclamo que en este caso el Morse homología complejo de Morse-Smale par $(\rho,f)$ es isomorfo - no sólo cuasi-isomorfo! - el celular de homología complejo de la manija de la descomposición. (Como Ryan indica, este último consiste en la $\rho$ también).

El isomorfismo envía un punto crítico de índice $k$ $k$- célula dada por su descendente del colector. Cada matriz de entrada en el Morse diferencial de la cuenta (con signos) gradiente de flujo de las líneas de un índice $k$ a un índice $k-1$ punto crítico, o, equivalentemente, las intersecciones entre descendente y ascendente de los colectores. La matriz correspondiente entrada en el celular diferencial es el grado en el mapa de $S^{k-1}\to S^{k-1}$ obtenido a partir de la fijación de mapa por el colapso de la $(k-2)$-esqueleto para obtener una cuña suma de las esferas, a continuación, se proyectan a un sumando. Pero se puede "ver" el último mapa, observando la tendencia a la baja el flujo de gradiente de puntos en la fijación de esfera para algunos de los grandes de tiempo fijo; la mayoría de los puntos finales en la $(k-2)$-esqueleto; los que no son los que (aproximadamente) el flujo hacia un índice $k-1$ punto crítico. Esto hace que sea un buen ejercicio para equiparar la matriz de entradas sobre $\mathbb{Z}/2$, y la más dolorosa de ejercicios para hacer en $\mathbb{Z}$.

Answer 4

Históricamente, la primera referencia (que yo sepa) positivamente respondiendo a tu pregunta 1 es el apéndice F. Laudenbach en el papel:

Bismut, Jean-Michel; Zhang, Weiping Una extensión de un teorema por Cheeger y Müller. (Francés resumen) Con un apéndice por François Laudenbach. Astérisque Nº 205 (1992),

Answer 5

Usted también podría estar interesado en un preprint por Cohen, Jones, y Segal, Morse Teoría y Clasificación de los Espacios que utiliza una función de Morse para la construcción de una categoría fuera de los puntos críticos y las líneas de flujo. La clasificación de espacio de esta categoría es homeomórficos a la original colector (bajo ciertas condiciones sobre la función de Morse). El preprint se pueden encontrar en los "papeles" de la sección de Ralph Cohen en la página de inicio.