$32$ Goldbach Variaciones de los Documentos que presentan una sola joya en la teoría de números o combinaciones de diferentes puntos de vista

Question

Hace poco tiempo me encontré con el papel bonito Treinta y dos Goldbach Variaciones escrito por J. M. Borwein y D. M. Bradley. Se presenta a $32$ diferentes pruebas de Euler suma de identidad

\begin{align*} \zeta(2,1)=\zeta(3)=8\zeta(\overline{2},1) \end{align*}

Como un paseo a través de diferentes métodos en torno a un único tema es para mí un placer extraordinario y una buena oportunidad para asociar y vincular los aspectos que no me había dado cuenta antes.

Aquí estoy pidiendo papeles como este, que presentan una sola gema y nos proporcionan una antología de diferentes representions, o pruebas diferentes o de otros aspectos en torno a esta joya. Para mantener la selección manejable me gustaría poner el foco en la teoría de números y combinatoria.

Dos ejemplos más que se adaptan perfectamente a mis necesidades/deseos:

• Catalán Anexo al R. P. Stanley nos ofrece una gran cantidad de diferentes representaciones de Números de catalán extender su $66$ combinatoria de las representaciones a partir del segundo volumen de su clásico de la Combinatoria Enumerativa.

• La Serie Armónica Diverge de Nuevo y de Nuevo por S. J. Kifowit y T. A. Sellos la presentación de alguna de las más elementales de las pruebas junto con el documento de seguimiento Más Pruebas de la Divergencia de la Serie Armónica.

Answer 1

Catorce Pruebas de un Resultado Sobre el suelo de Baldosas de un Rectángulo recoge $14$ pruebas de que el hecho de que un rectángulo de baldosas por rectángulos de cada uno de los cuales tiene al menos un entero lado tiene un número entero de lado.

Answer 2

Robin Chapman da muchas pruebas de $\sum n^{-2}=\pi^2/6$.

Answer 3

El libro "El Teorema Fundamental del Álgebra" por la Multa y Rosenberger (enlace) contiene los detalles de las conversaciones de al menos seis pruebas de este teorema, todo tiene sus raíces en diferentes áreas de las matemáticas. Enlaces a otros documentos (en inglés) que contiene diversas pruebas del teorema se puede encontrar en este MathOverflow pregunta.

H. W. Kuhn dio una combinatoria prueba en 1974.

Answer 4

Eliseo S. Loomis, El de Pitágoras Proposición, contiene $370$ pruebas del teorema de Pitágoras. ERIC tiene un PDF de NCTM reedición de la $1940$ segunda edición.

Answer 5

Aquí está una pregunta en este sitio con un montón de pruebas de $\sum(n+1)x^n=(1-x)^{-2}$.