Método sencillo para resolver una geometría pregunta para estudiantes de secundaria

Question

Rencently, mi hermana me pidió una geometría pregunta que vino de su simulacros de examen, por favor consulte el siguiente gráfico.

Aquí,

• $\angle DOE=45°$
• la longitud de $DE$ es constante, y $DE=1$. Es decir, $OD,OE$ son cambiantes.
• $\triangle DEF$ es un triángulo equilátero.

P: ¿Cuál es la longitud máxima de $OF$?

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Mi solución

Denotar $OD,OE,\angle ODE$$x,y,\theta$, respectivamente.

A través de sine teorema de $$ \begin{cases} ED^{2} = OE^{2} + OD^{2} - 2OE \times OD\cos \angle EOD \\[6pt] \cos \theta = \dfrac{EO^{2} + ED^{2} - OD^{2}}{2 EO \times ED} \end{casos} $$ $$ \begin{align} 1^{2} &= x^{2} + y^{2} - 2xy\cos 45^{\circ} \\ &= x^{2} + y^{2} - \sqrt{2} xy \end{align} $$ $$ \implica \begin{cases} \color{red}{xy} = \dfrac{x^{2} + y^{2} - 1}{\sqrt{2}} \color{red}{\leq} \dfrac{x^{2} + y^{2}}{2} \implies x^{2} + y^{2} \color{red}{\leq} 2 + \sqrt{2} \\[6pt] \cos \theta = \dfrac{x^{2} + 1 - y^{2}}{2x} \end{casos} $$

Mediante el teorema del coseno $$ \frac{y}{\sin \theta} = \frac{DE}{\sin \ángulo de la EOD} = \frac{1}{\pecado 45^{\circ}} \implica \sin \theta = \frac{y}{\sqrt{2}} $$ $$\begin{align} OF^{2} &= EO^{2} + EF^{2} - 2EO \times EF\cos \angle OEF \\ &= x^{2} + 1^{2} - 2x\cos(\theta + 60^{\circ}) \\ &= x^{2} + 1 - 2x(\cos \theta \cos 60^{\circ} - \sin \theta \sin 60^{\circ}) \\ &= x^{2} + 1 - 2x\left(\frac{x^{2} + 1 - y^{2}}{2x} \frac{1}{2} - \frac{y}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{2} + \frac{\sqrt{3} xy}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \frac{x^{2} + y^{2} - 1}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{(\sqrt{3} + 1)(x^{2} + y^{2})}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \\ &\color{red}{\leq} \frac{(\sqrt{3} + 1)(2 + \sqrt{2})}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}(3 + \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{6}) \end{align} $$

Sin embargo, para los estudiantes de secundaria, ella no aprende de las siguientes fórmulas:

• teorema del seno
• coseno therem
• $\cos(x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$
• desigualdad fundamental, $x y\leq \frac{x^2+y^2}{2}$

Pregunta

• Hay otros simple/elegante método para resolver este geometría pregunta?

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Actualización

Gracias por MXYMXY's ayuda

Aquí, la línea de $O'F$ pasar al centro del círculo. Es decir, $O'D=OF$

En Rt $\triangle O'OF$, la desigualdad de $O'F>OF$ mantiene.

Answer 1

Estoy asumiendo que hay una condición que $\angle DOE=45°$ a partir de su gráfica.

SUGERENCIA

Tenga en cuenta que el conjunto de $O$ tal que $\angle DOE=45°$ forma un círculo.

Y un punto de un círculo que se encuentra más lejos de un punto fijo $Q$ mantiene cuando el punto, el centro del círculo, y $Q$ son colineales.

El uso de este, tenga en cuenta el máximo de $\overline {OF}$ tiene al $O'D=O'F$.

La informática nos da (el crédito va para @AmeetSharma) que el máximo es de $$\frac{\overline{DE}}{2}+\frac{\sqrt{2}\overline{DE}}{2}+\frac{\sqrt{3}\overline{DE}}{2}= \dfrac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$$

Para generalizar, si $\angle DOE=\theta$, el máximo es de $$\frac{\cot \theta}{2}+\frac{\sec \theta}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Answer 2

Fresco problema. Parece algún tipo de reto o torneo problema para los estudiantes de secundaria.

MXYMXY dio la pista. $OF$ pasa por el centro del círculo, para que la longitud máxima.

Deje $C$ ser el centro del círculo. $\angle DCE = 2\times\angle DOE = 90^\circ$ (ángulo inscrito es la mitad de ángulo central)

Deje $X$ ser la intersección de $DE$$OF$.

$\angle DXO$ es un ángulo recto.

$\triangle DCE$ es isósceles triángulo rectángulo. $DC = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (este es el radio del círculo)

$\angle DCX = 45^\circ$

$CX = DC \cos(45^\circ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{2}$

$XF = 1\times \sin(60) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$OF = OC+CX+XF =\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow OF = \dfrac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$

Answer 3

Enfoque práctico.Tome una caja de cartón en la forma de un triángulo equilátero de lado 1. Deslice dos vértices a lo largo de los brazos de la $ 45 ^0$ líneas,tenga en cuenta que el otro vértice es el más lejano cuando la instalación es simétrica, situada a lo largo de la bisectriz de $45^0 $ esquina.

Sólo los nuevos trig relación a ser conocido es $ \tan 67.5^0$ $ \sqrt2 +1 $

De modo que la longitud requerida es:

$$ \frac12 \; (\tan 60^0 + \tan 67.5^0 ) =\frac {\sqrt3 + \sqrt2 +1}{2}. $$

Answer 4

El paso más difícil es el primero: adivinar la respuesta correcta. Por simetría, es plausible que el $OF$ dividiendo $\angle DOE$ le dará un máximo o mínimo de longitud. Otro probable que supongo que es cuando $O$, $D$, y $E$ son colineales, pero para determinados ángulos de $45^\circ$ $60^\circ$ que harían $F$ se encuentran fuera del ángulo de $DOE$, por lo que el "sentido común" eliminaría esa posibilidad.

Así que, ¿cómo demostrar que los simétricos diagrama no dar la línea más larga? Imaginar el triángulo $DEF$ se fija en el espacio. (Nota, el diagrama dado en la pregunta, incluyendo el ángulo de $\theta$, es tal vez el propósito de engañar a los estudiantes a pensar acerca del $O$ se fija, y $D$ $E$ que se mueve).

El lugar geométrico de los puntos $O'$ tal que $\angle DO'E$ es constante es el arco de un círculo con acordes $DE$ y el centro de la $C$ @Recibir Sharma del diagrama. Por otro lado, el lugar geométrico de los puntos $O'$ tal que $O'F$ es constante, es un círculo de centro $F$. En la geometría de la escuela secundaria de nivel (e incluso en Eulid!) es "evidente" que un círculo se encuentra fuera de la otra, y tienen una tangente común en el punto de $O$.

Ahora que sabes la figura simétrica es la solución, calcular la longitud es simple trigonometría.

Answer 5

Deje $FX$ ser la mediana de un triángulo equilátero de forma que la longitud de $FX =$ constante $= [m]$, dicen

En $\triangle OXF$, $t \le s + [m]$ por el triángulo de la desigualdad.

$t_{max}$ se produce cuando el triángulo es degenerado en una línea recta OXF.

Cuando eso ocurre, $\angle OXD$ tiene que ser en ángulo recto debido a que (1) $OXF$ es una línea recta; y (2) $FX$ es la mediana de un triángulo equilátero.

La varilla $DE$ debe ser colocado de tal manera que (1) $OX$ es la bisectriz de un ángulo de $\angle DOE$; (2) $\triangle ODE$ es isósceles con OD OE=; y (3) debe ser perpendicular a $OX$.

La necesaria longitud máxima $= OX + [m]$ pueden ser fácilmente encontrados y el detalle es, por tanto, se omiten.

Añadió:-

El máximo requerido $= OX + [m] = \dfrac {\dfrac {1}{2}}{\tan 22.5^0} +[\dfrac {\sqrt 3}{2}]$