Espectáculo $S = f^{-1}(f(S))$ para todos los subconjuntos de a $S$ fib $f$ es inyectiva

Question

Deje $f: A \rightarrow B$ ser una función. ¿Cómo podemos demostrar que para todos los subconjuntos de a $S$ de $A$, $S \subseteq f^{-1}(f(S))$? Creo que esta es una muy simple problema, pero soy nuevo en esto así que estoy confundido.

También, ¿cómo podemos mostrar que $S = f^{-1}(f(S))$ para todos los subconjuntos de a $S$ fib $f$ es inyectiva?

Answer 1

$S \subseteq f^{-1}(f(S)):$ Elija $a\in S.$ $a\in f^{-1}(f(S))$ es suficiente para mostrar que $\exists$ $a'\in S$ tal que $a\in f^{-1}(f(a'))$ es decir, para mostrar $\exists$ $a'\in S$ tal que $f(a)=f(a').$ Ahora tome $a=a'.$

$S = f^{-1}(f(S))$ $\forall$ $A \subset S$ $\iff f$ es inyectiva:

• $\Leftarrow:$ Deje $f$ ser inyectiva. Elegir $s'\in f^{-1}(f(S))\implies f(s')\in f(S)\implies \exists$ $s\in S$ tal que $f(s')=f(s)\implies s'=s$ (desde $f$ es inyectiva) $\implies s'\in S.$ $f^{-1}(f(S))\subset S.$ Inversa de inclusión se ha demostrado anteriormente. Por lo tanto, $f^{-1}(f(S))= S.$

• $\Rightarrow:$ Vamos $f^{-1}(f(S))= S$ $\forall$ $A \subset S.$ Deje $f(s_1)=f(s_2)$ algunos $s_1,s_2\in S.$ $s_1\in f^{-1}(f(\{s_2\})=\{s_2\}\implies s_1=s_2\implies f$ es inyectiva.

Answer 2

La prueba Formal (en DC a Prueba de formato) en http://dcproof.com/Image-Pre-Image.htm

Una aplicación directa de las definiciones, excepto dos se queda "pegado" puntos:

1. Para demostrar $\neg x\in S \rightarrow \neg x\in f^{-1}(f(S))$ al $f$ es inyectiva, debe considerar dos casos: $x\in A$$\neg x\in A$.

2. Para demostrar $\neg\forall S\subseteq A(S=f^{-1}(f(S)))$ al $f$ es no inyectiva, vamos a $x\in A$ $y\in A$ donde$x\ne y$$f(x)=f(y)$. Entonces construir contraejemplo $S=\{ x\}$.