Estoy siguiendo un curso de álgebra básica, y hemos cubierto los anillos y grupos en clase, pero tengo problemas para visualizarlos. ¿Hay aplicaciones de la teoría de grupos y/o anillos que se puedan visualizar más fácilmente que el objeto abstracto? Por ejemplo, ¿hay objetos, o propiedades de objetos, que se comportan como elementos de un grupo en física, química u otros campos?
Respuestas
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David HAust
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La teoría de grupos puede considerarse, a grandes rasgos, como un estudio general de la simetría. En química se aplica a los cristales mediante el estudio de los grupos cristalográficos, y en arte mediante grupos de papel pintado. Por ejemplo, en física, los grupos de simetría de Lie de las ecuaciones diferenciales parciales desempeñan papeles fundamentales, por ejemplo, en el gobierno de las leyes de conservación y la separación de variables. Véase, por ejemplo, el caso de Weyl Simetría y la de Budden Fascinación por los grupos .
Los grupos diédricos aparecen con frecuencia en el arte y la naturaleza. Muchos de los diseños decorativos utilizados en revestimientos de suelos, cerámica y edificios tienen uno de los grupos diedros como grupo de simetría. Los logotipos de las empresas son fuentes ricas en simetría diédrica. El logotipo de Chrysler tiene el grupo de simetría D5 grupo de simetría, y el de Mercedes-Benz tiene el D3. La omnipresente estrella de cinco puntas tiene el grupo de simetría D5. El filo Echinodermata contiene muchos animales marinos (como las estrellas de mar, los pepinos de mar, las estrellas de mar y dólares de arena) que presentan patrones con simetría D5. Los químicos clasifican las moléculas según su simetría. Además, las consideraciones de simetría se aplican en los cálculos orbitales, en la determinación de niveles de energía de los átomos y las moléculas, y en el estudio de las vibraciones moleculares.
Fuente : Álgebra abstracta contemporánea, Gallian, capítulo 2
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Este post depende de si consideras que un polígono es un objeto abstracto o no. Se trata de una afirmación filosófica muy discutible. Como resultado, estoy presentando esta respuesta de buena fe.
Lo más básico que se me ocurre es el grupo de rotaciones de un polígono alrededor de su punto central $P_k$ . Por ejemplo,
$$(P_{3},r):=\{r(n): n \in \mathbb{Z}\},$$
el grupo de rotaciones de un triángulo alrededor de su centro donde cada elemento es una rotación de $n$ radianes. Tenemos una identidad fundamental: $$r(0)=r(2\pi)=r\left(\frac{2\pi}{3}\right).$$ Esto es interesante porque se relaciona directamente con las tres líneas de simetría de un triángulo. De hecho,
Si definimos $(P_k,r)$ para ser el grupo de rotaciones de un $k$ -alrededor de su centro, tenemos la siguiente identidad para todos los valores de $k$ : $$r(0)=r(2\pi)=r\left(\frac{2\pi}{k}\right).$$
Esto se debe a que todo polígono tiene tantas líneas de simetría como lados tiene. En consecuencia, se puede inscribir un polígono en un círculo y "cortar" el polígono $k$ formas a través de sus líneas de simetría. Esto nos muestra que cada rotación es el ángulo $\dfrac{2\pi}{k}$ radianes porque cortamos el círculo en $k$ a partes iguales.
Para que lo explores: Considere $(P_k,r,r')$ donde $r'$ es el conjunto de reflexiones a través de una línea que pasa por el centro. ¿Es un anillo? Si es así, ¿qué propiedades tiene?
