Integral de forma diferencial e integral de medida

Question

Estoy tratando de entender las relaciones y diferencias entre la integral de forma diferencial y la integral de medida. De Wikipedia :

En una variedad general diferenciable (sin estructura adicional), las formas diferenciales no pueden ser integradas sobre subconjuntos de la colector; esta distinción es clave para la distinción entre formas diferenciales que se integran sobre cadenas, y las medidas, que se integran sobre subconjuntos.

1. ¿No es una cadena un colector, y por tanto un subconjunto de un colector? ¿Por qué es que "las formas diferenciales no pueden integrarse sobre subconjuntos del colector"?

2. Es la integral de una forma diferencial definida en términos de Lebesgue mediante la parametrización de la cadena, como aquí

   $$\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\dots,i_k}(S({\mathbf u})) \frac{\partial(x^{i_1},\dots,x^{i_k})}{\partial(u^{1},\dots,u^{k})}\,du^1\ldots du^k $$

   Entonces, ¿se puede decir que integral de una forma diferencial no es un método de integración diferente de la integral de Lebesgue?

Gracias y saludos.

Answer 1

1. Las formas diferenciales no se pueden integrar sobre todo subconjuntos de un colector. No se puede integrar una 2 forma sobre una curva, o una 1 forma sobre una superficie. Más precisamente: la integración en el espacio de medidas se define sobre un $\sigma$ -Álgebra. Así, si la integración se define en dos conjuntos $A$ y $B$ la integral también está definida en $A\cap B$ . Pero no ocurre lo mismo con la integración de formas diferenciales. Dada una forma de dos $\omega$ en $\mathbb{R}^3$ y tomar $S$ y $T$ sean dos superficies lisas que se cruzan transversalmente. $\int_S\omega$ y $\int_T\omega$ tiene sentido, pero no $\int_{S\cap T}\omega$ .

2. Generalmente es una forma diferencial, por definición cuando se toma en una representación de coordenadas locales, está dada por funciones que son al menos continua. Así que de hecho no necesita la maquinaria de integración de Lebesgue: todas las funciones que va a tratar pueden ser tratadas con integración de Riemann.