Demostrar que $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C,$ $A+B+C = 180^\circ$

Question

Yo quiero probar

\begin{equation*} \tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C \quad\text{when } A+B+C = 180^\circ \end{ecuación*}

Sabemos que

\begin{equation*} \tan(A+B) = \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}~\text{and that}~A+B = 180^\circ-C. \end{ecuación*}

Por lo tanto, $\tan(A+B) = -\tan C.$ a partir De aquí, me quedo atascado. Por favor, ayudar.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \mathrm{Im}\left(e^{i\pi}\right)=0\etiqueta{1} $$ Por lo tanto, si $a+b+c=\pi$, $$ \begin{align} 0 &=\mathrm{Im}\left(e^{ia}e^{ib}e^{ic}\right)\\ &=\mathrm{Im}\Big(\big(\cos(a)+i\sin(a)\big)\big(\cos(b)+i\sin(b)\big)\big(\cos(c)+i\sin(c)\big)\Big)\\[4pt] &=\sin(a)\cos(b)\cos(c)+\cos(a)\sin(b)\cos(c)+\cos(a)\cos(b)\sin(c)\\ &-\sin(a)\sin(b)\sin(c)\tag{2} \end{align} $$ Dividiendo $(2)$ $\cos(a)\cos(b)\cos(c)$ rendimientos $$ \tan(a)+\tan(b)+\tan(c)=\tan(a)\tan(b)\tan(c)\etiqueta{3} $$

Answer 2

SUGERENCIA

$A+B+C = 180$

$A+B = 180 - C$

Vamos a aplicar la función tangente:

$\tan (A+B) = \tan (180 - C)$

Vamos a considerar la identidad:

$\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1-\tan x\tan y}$

$\frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A\tan B} = \frac{\tan 180 - \tan C}{1+\tan 180\tan C}$

Pero $\tan 180 = 0$, por lo tanto, se obtendrá:

$\frac{\tan A + \tan }{1-\tan A\tan B}$ = $\frac{0 - \tan C}{1+0}$

$\frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A\tan B} = -\tan C$

Vamos a multiplicar por $(1-\tan A\tan B)$:

$\tan A + \tan B = -\tan C +\tan A\tan B\tan C$

Por lo tanto

$\tan A + \tan B+ \tan C = \tan A\tan B\tan C$

Answer 3

Aquí está una prueba geométrica, para el caso de que los tres ángulos son agudos:

$QRUV$ son colineales porque $B+90^\circ+(90^\circ-B)=180^\circ$.

$STV$ son colineales porque $A+B+C=180^\circ$, lo $\angle QSV=\angle UTV=C$.

Triángulos semejantes $\triangle PQR\sim\triangle TRS$ $\triangle RTU \sim \triangle SRQ$ dar $\displaystyle \frac{QP}{RQ} = \frac{RT}{SR} = \frac{TU}{RQ}$, and therefore $TU=QP=1$.

A continuación, $$\begin{align}& \tan A + \tan B + \tan C = QR+RU+UV = QV \\ &= QP \frac{QR}{QP}\, \frac{QS}{QR} \, \frac{QV}{QS} = 1 \cdot \tan(A) \tan(B) \tan(C) \end{align}$$

---

Cuando uno de los ángulos es obtuso, let it (sin pérdida de generalidad) ser $C$. A continuación, un diagrama similar puede ser dibujado, excepto que $V$ está a la izquierda de $Q$, y $UV$, $QV$ cuenta como negativo longitudes.

Answer 4

Para cualquier ángulo de $\theta$, vamos a $c_\theta = \cos\theta, s_\theta = \sin\theta$$t_\theta = \tan\theta$, tenemos:

$$\begin{align} e^{iA} e^{iB} e^{iC} & = ( c_A + i s_A )(c_B + i s_B)(c_C + is_C)\\[6pt] & = c_A c_B c_C (1 + i t_A)(1 + i t_B )(1 + i t_C)\\ & = c_A c_B c_C \bigg[ \big( 1 - (t_A t_B + t_B t_C + t_C t_A ) \big) + i \big( t_A + t_B + t_C - t_A t_B t_C \big)\bigg] \end{align}$$ Esto implica $$\frac{\Im(e^{iA} e^{iB} e^{iC})}{\Re(e^{iA} e^{iB} e^{iC})} = \frac{t_A + t_B + t_C - t_A t_B t_C}{1 - t_A t_B - t_B t_C - t_C t_A}\tag{*}$$

Por el otro lado,

$$e^{iA} e^{iB} e^{iC} = e^{i(A+B+C)} = c_{A+B+C}(1 + i t_{A+B+C}),$$ La L. H. S de $(*)$ es simplemente $t_{A+B+C}$. Por tanto, tenemos la incorporación de la fórmula de la tangente para los tres ángulos:

$$t_{A+B+C} = \frac{t_A + t_B + t_C - t_A t_B t_C}{1 - t_A t_B - t_B t_C - t_C t_A}\\ \ffi\tan(a+B+C) = \frac{\tan a + \bronceado B + \bronceado C - \tan\bronceado B\bronceado C}{1 - \tan \bronceado B - \bronceado B\bronceado C - \bronceado C\bronceado A} $$ En particular, esto significa $$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C \iff \tan(A+B+C) = 0$$

Si tenemos más información que $0 < A+B+C < 360^{\circ}$, luego esta equivalencia puede ser reescrita como: $$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C \iff A+B+C = 180^\circ$$

Answer 5

$A+B=180-C$

$\tan(A+B)=\tan(180-C)$

$[\tan(A)+\tan(B)]/[1-\tan(A)\tan(B)]=-\tan(C)$ $\tan(A)+\tan(B)=-\tan(C)+\tan(A)\tan(B)\tan(C)$ $\tan(A)+\tan(B)+\tan(C)=\tan(A)\tan(B)\tan(C)$