¿Por qué la transformación de Lorentz de la relatividad especial tiene que ser así?

Question

Básicamente creo que Albert Einstein (A. E.) estaba tratando de encontrar una transformación que:

1. Siempre transformar una velocidad constante movimiento a una velocidad constante movimiento.
2. Siempre transformar un poquito de velocidad de movimiento en un poquito de velocidad de movimiento.
3. Si un objeto con una velocidad de $v$ en el marco de la $A$ es el descanso en el marco de la $B$, entonces cualquier resto de objetos en $A$ tiene una velocidad de $-v$$B$.

A. E. dio:

$$x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}},$$

$$t'=\frac{t-(u/c^2)x}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.$$

Pero hay más de una transformación que puede hacer esto.

Multiplicar un factor, se puede obtener otra:

$$x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}}(1+u^2),$$

$$t'=\frac{t-(u/c^2)x}{\sqrt{1-u^2/c^2}}(1+u^2).$$

Satisface los tres postulados dado. Así que ¿por qué no puede el último ser de la transformación de Lorentz?

Answer 1

Usted ha descubierto el secreto bien guardado que en 2 dimensiones, las transformaciones que mantienen a la luz de los rayos fijos incluyen la conformación de las transformaciones, no sólo de las transformaciones de Lorentz. Usted necesita escoger un subconjunto de la conformación de las transformaciones que forman un grupo, y que son compatibles con las reflexiones.

Los que se utilizan no son los buenos, porque si usted utiliza su transformación con velocidad u, e invertir, no es el de las transformaciones con velocidad -u. El factor que se recibe no es multiplicativo, así que si usted componer dos transformaciones con u y u', no conseguir algo en el grupo. Si usted mantiene la transformación, sus coordenadas acaba de obtener una más grande y más grande factor de escala.

Pero hay otro subgrupo de los 1+1 d de conformación del grupo, que es un grupo que obedece a todos los de Einstein, la velocidad de la luz postulados:

$$ x' = e^{k\alpha} ( \cosh(\alpha) x - \sinh(\alpha) t) = ( \sqrt{1+v\over 1-v})^k{x-vt\over \sqrt{1-v^2}}$$ $$ t' = e^{k\alpha} ( \sinh(\alpha) t - \cosh(\alpha) x )= (\sqrt{1-v\over 1+v})^k{t-vx\over\sqrt{1-v^2}}$$

Esta transformación de las escalas por la rapidez (relativista analógico de 2d ángulo de rotación), con la 1d factor de escala que se forma un grupo. Estas transformaciones son la alternativa de la transformación de Lorentz que usted desea. Sus órbitas son relativistas análogos de geométricas, espirales, círculos no, y la forma unidimensional de grupo, y se reduce a transformaciones de Galileo a bajas velocidades ($c=1$ en las fórmulas de arriba).

En sus derivaciones de la transformación de Lorentz, Einstein utiliza de forma implícita la reflexión de simetría, por el supuesto de que la transformación -v será el mismo que el de la transformación de la velocidad v con sólo el signo en x invertido. Esta suposición permite eliminar esta posibilidad, porque es asimétrica, la escala positiva de la velocidad de las transformaciones es inversa de la escala con el negativo de la velocidad de las transformaciones.