Nota: Esta es una respuesta parcial con el objetivo de presentar un equivalente de identidad con la reducción de la complejidad. Para ello se analizan los LHS y RHS de la OPs expresión y reorganizar y alinear el paso a paso de ambos lados que nos permite eliminar de igual forma exterior de sumas.
Reclamamos el siguiente
Con el fin de demostrar la validez de la OPs expresión, es suficiente para mostrar
$1\leq l\leq n-1,\ 1\leq c\leq n-l$
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{l}&\sum_{j=0}^{\min\{c,k\}}\frac{(c)_j(k)_j}{j!}f^{k-j}g^{c-j}B_{l,k}^g(x)\\
&=\sum_{j=0}^{l}\sum_{k=\max\{1,j\}}^{\min\{j+c,l\}}\frac{(c)_{k-j}(k)_j}{j!}f^jg^{j+c-k}B_{l,k}^g(x)\tag{1}
\end{align*}
Observar, que la expresión original contiene cuatro sumas de dinero en cada lado. Así, esta expresión tiene una reducción de la complejidad. No obstante, algunos más complicado reordenamientos son necesarios para probar (1).
Paso 1: Ajuste de LHS y RHS
Al principio nos reorganizar ambas sumas de OPs de expresión, sin cambiar el nombre de los índices. Para una mejor comparación también escribiremos $B_{n,k}^{(g\circ f)^c}$ completamente expandido.
El lado izquierdo puede escribirse como
\begin{align*}
\sum_{c=1}^{n-1} &\sum_{k=c+1}^{n} \sum_{j=0}^{\min\{c,k-c\}} \binom{c}{j} \frac{(k-c)!}{(k-c-j)!} f^{k-c-j} g^{c-j} B_{n,k}^{(g \diamond f)^c}(x)\\
&= \sum_{l=1}^{n-1}\sum_{c=1}^{n-1}\sum_{k=c+1}^{n} \sum_{j=0}^{\min\{c,k-c\}}
\binom{n}{l}\frac{(c)_j(k-c)_j}{j!} f^{k-c-j} g^{c-j} B_{n-l,c}^{f}(x)B_{l,k-c}^{g}(x)\tag{2}\\
&= \sum_{l=1}^{n-1}\sum_{c=1}^{n-l}\sum_{k=c+1}^{c+l} \sum_{j=0}^{\min\{c,k-c\}}
\binom{n}{l}\frac{(c)_j(k-c)_j}{j!} f^{k-c-j} g^{c-j} B_{n-l,c}^{f}(x)B_{l,k-c}^{g}(x)\tag{3}\\
\end{align*}
La CARTA puede ser escrito como
\begin{align*}
\sum_{w=1}^n& \sum_{m_1=1}^w \sum_{m_2 = 1}^w \frac{m_1!m_2!}{(w-m_1)!(w-m_2)!(m_1+m_2-w)!}f^{w-m_1}g^{w-m_2}\\
&\qquad\cdot\sum_{l=1}^{n-1} \binom{n}{l} B_{n-l,m_1}^f(x) B_{l,m_2}^g(x)\\
&=\sum_{l=1}^{n-1} \sum_{w=1}^n \sum_{m_1=1}^w \sum_{m_2 = 1}^w\binom{n}{l}\frac{m_1!m_2!}{(w-m_1)!(w-m_2)!(m_1+m_2-w)!}f^{w-m_1}g^{w-m_2}\\
&\qquad\cdot B_{n-l,m_1}^f(x) B_{l,m_2}^g(x)\tag{4}
\end{align*}
Comentario:
En (2) nos expandir $B_{n,k}^{(g\circ f)^c}$ y escribir la suma correspondiente con el índice de $l$ en la posición izquierda. También escribe el coeficiente binomial $\binom{c}{j}$ y el factoriales utilizando el símbolo de Pochhammer $(r)_s:=r(r-1)\cdots (r-s+1)$.
En (3) de la parte superior del índice de $c$ $n-l$desde el parcial Bell polinomio $B_{p,q}^{f}(x)=0$ siempre $q>p$. De acuerdo con el factor de $B_{n-l,c}^{f}(x)$ tenemos ninguna contribución si $c>n-l$. De igual modo, ya tenemos un factor de $B_{l,k-c}^{g}(x)$ también tenemos ninguna contribución si $k-c>l$ y se puede establecer el límite superior de $k$$\min\{n,c+l\}$. Este mínimo es igual a $c+l$, ya que el $1\leq c \leq n-l$.
En (4) escribimos la suma con el índice de $l$ en la posición izquierda.
Paso 2: Ajuste de la PREPA
Transformamos la LHS de la OPs expresión a partir de (2).
\begin{align*}
\sum_{l=1}^{n-1}&\sum_{c=1}^{n-l}\sum_{k=c+1}^{c+l} \sum_{j=0}^{\min\{c,k-c\}}
\binom{n}{l}\binom{c}{j}\frac{(k-c)!}{(k-c-j)!} f^{k-c-j} g^{c-j} B_{n-l,c}^{f}(x)B_{l,k-c}^{g}(x)\\
&=\sum_{l=1}^{n-1}\sum_{c=1}^{n-l}\sum_{k=1}^{l} \sum_{j=0}^{\min\{c,k\}}
\binom{n}{l}\binom{c}{j}\frac{k!}{(k-j)!} f^{k-j} g^{c-j} B_{n-l,c}^{f}(x)B_{l,k}^{g}(x)\tag{5}\\
&=\sum_{l=1}^{n-1}\binom{n}{l} B_{n-l,c}^{f}(x)\sum_{c=1}^{n-l}\sum_{k=1}^{l} \sum_{j=0}^{\min\{c,k\}}\frac{(c)_j(k)_j}{j!} f^{k-j} g^{c-j}B_{l,k}^{g}(x)\tag{6}\\
\end{align*}
Comentario:
En (5) se cambio el índice de $k$ $c$ y sustituir cada ocurrencia de $k$$k+c$.
En (6) ponemos los factores de $\binom{n}{l}$ $B_{n-l,c}^{f}(x)$ en la posición izquierda y nos re-escribir el otro coeficiente binomial y factoriales utilizando el símbolo de Pochhammer.
Paso 3: Ajuste de RHS
Transformamos la LHS de la OPs expresión a partir de (3).
\begin{align*}
\sum_{l=1}^{n-1} &\sum_{w=1}^n \sum_{m_1=1}^w \sum_{m_2 = 1}^w\binom{n}{l}\frac{m_1!m_2!}{(w-m_1)!(w-m_2)!(m_1+m_2-w)!}\\
&\qquad\cdot f^{w-m_1}g^{w-m_2} B_{n-l,m_1}^f(x) B_{l,m_2}^g(x)\\
&=\sum_{l=1}^{n-1}\sum_{w=1}^n \sum_{c=1}^w \sum_{m_2 = 1}^w
\binom{n}{l}\frac{c!m_2!}{(w-c)!(w-m_2)!(c+m_2-w)!}\\
&\qquad\cdot f^{w-c}g^{w-m_2} B_{n-l,c}^f(x) B_{l,m_2}^g(x)\tag{7}\\
&=\sum_{l=1}^{n-1} \sum_{c=1}^n\sum_{w=c}^n \sum_{m_2 = 1}^w
\binom{n}{l}\frac{c!m_2!}{(w-c)!(w-m_2)!(c+m_2-w)!}\\
&\qquad\cdot f^{w-c}g^{w-m_2} B_{n-l,c}^f(x) B_{l,m_2}^g(x)\tag{8}\\
&=\sum_{l=1}^{n-1} \sum_{c=1}^{n-l}\sum_{w=c}^{c+l} \sum_{m_2 = 1}^{\min\{w,l\}}
\binom{n}{l}\frac{c!m_2!}{(w-c)!(w-m_2)!(c+m_2-w)!}\\
&\qquad\cdot f^{w-c}g^{w-m_2} B_{n-l,c}^f(x) B_{l,m_2}^g(x)\tag{9}\\
&=\sum_{l=1}^{n-1} \sum_{c=1}^{n-l}\sum_{w=0}^{l} \sum_{m_2 = 1}^{\min\{w+c,l\}}
\binom{n}{l}\frac{c!m_2!}{w!(w+c-m_2)!(m_2-w)!}\\
&\qquad\cdot f^{w}g^{w+c-m_2} B_{n-l,c}^f(x) B_{l,m_2}^g(x)\tag{10}\\
&=\sum_{l=1}^{n-1} \sum_{c=1}^{n-l}\sum_{w=0}^{l} \sum_{m_2 = \max\{1,w\}}^{\min\{w+c,l\}}
\binom{n}{l}\frac{c!m_2!}{w!(w+c-m_2)!(m_2-w)!}\\
&\qquad\cdot f^{w}g^{w+c-m_2} B_{n-l,c}^f(x) B_{l,m_2}^g(x)\tag{11}\\
&=\sum_{l=1}^{n-1} \sum_{c=1}^{n-l}\sum_{j=0}^{l} \sum_{k = \max\{1,j\}}^{\min\{j+c,l\}}
\binom{n}{l}\frac{c!k!}{j!(j+c-k)!(k-j)!}f^{j}g^{j+c-k} B_{n-l,c}^f(x) B_{l,k}^g(x)\tag{12}\\
&=\sum_{l=1}^{n-1} \binom{n}{l}B_{n-l,c}^f(x) \sum_{c=1}^{n-l}\sum_{j=0}^{l} \sum_{k = \max\{1,j\}}^{\min\{j+c,l\}}\frac{(c)_{k-j}(k)_j}{j!}f^{j}g^{j+c-k} B_{l,k}^g(x)\tag{13}\\
\end{align*}
Comentario:
En (7) el intercambio de la variable $m_2$$c$.
En (8) el intercambio de las sumas con índice de $c$ y el índice de $w$ por lógicamente restablecer su superior índices.
En (9) podemos cambiar el límite superior del índice de $c$ $n-l$debido a $B_{n-l,c}^f(x)$ y podemos cambiar el límite superior de $m_2$ $\min\{w,l\}$debido a $B_{l,m_2}^g(x)$.
En (10) vamos a cambiar el índice de $w$ $c$ y sustituir cada ocurrencia de $w$$w+c$.
En (11) vamos a cambiar el límite inferior de $m_2$ $\max\{1,w\}$ya que tenemos que respetar el factor de $(m_2-w)!$, por lo que el $m_2-w\geq 0$.
En (12) vamos a cambiar el nombre de $w$$j$$m_2$$k$.
En (13) ponemos los factores de $\binom{n}{l}$ $B_{n-l,c}^{f}(x)$ a una posición más a la izquierda y nos re-escribir el otro coeficiente binomial y factoriales utilizando el símbolo de Pochhammer
Ahora es el momento de la cosecha:
Paso 4: Poner todos juntos
Cuando se mira en la expresión (6), que es equivalente a la LHS de la OPs de la identidad y la expresión (13), que es un equivalente a la DCHA de la OPs identidad, obtenemos
\begin{align*}
\sum_{l=1}^{n-1}&\binom{n}{l} B_{n-l,c}^{f}(x)\sum_{c=1}^{n-l}\sum_{k=1}^{l} \sum_{j=0}^{\min\{c,k\}}\frac{(c)_j(k)_j}{j!} f^{k-j} g^{c-j}B_{l,k}^{g}(x)\\
&=\sum_{l=1}^{n-1} \binom{n}{l}B_{n-l,c}^f(x) \sum_{c=1}^{n-l}\sum_{j=0}^{l} \sum_{k = \max\{1,j\}}^{\min\{j+c,l\}}\frac{(c)_{k-j}(k)_j}{j!}f^{j}g^{j+c-k} B_{l,k}^g(x)\tag{14}
\end{align*}
Observar el exterior de sumas con índice de $l$$c$, coincidiendo así como el factor de $\binom{n}{l}$ y el parcial Bell polinomio $B_{n-l,c}^{f}(x)$. Desde los exponentes de la $f$ $g$ así como el índice de $B_{l,k}^g(x)$ identificar los sumandos podemos saltar los dos exteriores sumas y considerar las regiones especificadas por el exterior de los índices de lugar.
Llegamos a la conclusión de las siguientes es equivalente a (14):
Para $1\leq l \leq n-1,\ 1\leq c \leq n-l$
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{l}& \sum_{j=0}^{\min\{c,k\}}\frac{(c)_j(k)_j}{j!} f^{k-j} g^{c-j}B_{l,k}^{g}(x)\\
&=\sum_{j=0}^{l} \sum_{k = \max\{1,j\}}^{\min\{j+c,l\}}\frac{(c)_{k-j}(k)_j}{j!}f^{j}g^{j+c-k} B_{l,k}^g(x)\tag{15}
\end{align*}
demostrando la validez de la reclamación (1).
$$ $$
Paso 5: ¿Cómo proceder?
Hay algunas difíciles índice de transformaciones necesarias con el fin de mostrar la validez de la expresión anterior. Para obtener una mejor sensación de estas transformaciones en las siguientes tablas se presentan los valores relevantes de la LHS y RHS para $n=3$.
Tabla 1: en el lado izquierdo de (15) por $n=3$
\begin{array}{cccccccccc}
n&l&c&k&j&\qquad\frac{(c)_j(k)_j}{j!}&f^{k-j}&g^{c-j}&B_{l,k}^g&\qquad \text{RHS}\\
\hline\\
3&1&1&1&0&\qquad1& f^1&g^1&B_{1,1}^g&\qquad2\\
&&&&1&\qquad1&f^0&g^0&B_{1,1}^g&\qquad1\\
&&2&1&0&\qquad1&f^1&g^2&B_{1,1}^g&\qquad4\\
&&&&1&\qquad2&f^0&g^0&B_{1,1}^g&\qquad3\\
&2&1&1&0&\qquad1&f^1&g^1&B_{2,1}^g&\qquad6\\
&&&&1&\qquad1&f^0&g^0&B_{2,1}^g&\qquad5\\
&&&2&0&\qquad1&f^2&g^1&B_{2,2}^g&\qquad8\\
&&&&1&\qquad2&f^1&g^0&B_{2,2}^g&\qquad7\\
\end{array}
Tabla 2: RHS de (15) por $n=3$
\begin{array}{cccccccccc}
n&l&c&k&j&\qquad\frac{(c)_{k-j}(k)_j}{j!}&f^j&g^{j+c-k}&B_{l,k}^g&\qquad\text{RHS}\\
\hline\\
3&1&1&1&0&\qquad1& f^0&g^0&B_{1,1}^g&\qquad1\\
&&&&1&\qquad1&f^1&g^1&B_{1,1}^g&\qquad2\\
&&2&1&0&\qquad2&f^0&g^1&B_{1,1}^g&\qquad3\\
&&&&1&\qquad1&f^1&g^2&B_{1,1}^g&\qquad4\\
&2&1&1&0&\qquad1&f^0&g^0&B_{2,1}^g&\qquad5\\
&&&&1&\qquad1&f^1&g^1&B_{2,1}^g&\qquad6\\
&&&2&1&\qquad2&f^1&g^0&B_{2,2}^g&\qquad7\\
&&&&2&\qquad1&f^2&g^1&B_{2,2}^g&\qquad8\\
\end{array}
Tenga en cuenta, que las líneas de la tabla 1 y 2 con la misma entrada en la columna de la IZQUIERDA coinciden. A partir de esta información podemos obtener una asignación de los índices y esto podría dar algún tipo de ayuda cómo las transformaciones a realizar.
