La definición de los coeficientes binomiales través de los anillos en general

Question

Estoy mirando mis notas, y hemos comprobado que el teorema del binomio $$(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} {n \choose k}a^k b^{n-k}$$ mantiene en todos los anillos conmutativos.

Sin embargo, estoy confundido sobre cómo estamos definiendo ${n \choose k}$, puesto que la definición $ {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} $ ya no es bien definido a lo largo de los anillos en general, desde el $k!$ igual $0$. Por ejemplo, $p! = 0$$F_p$, el campo de p elementos. Alguna idea de cómo interpretar los coeficientes binomiales en estos casos?

Answer 1

En la fórmula, $\binom{n}{k}$ es un integer ordinario. No tiene que ser visto como un elemento de nuestro anillo de $A$, y en general conmutativa anillos, que no puede tener un multiplicativo de la unidad, no puede ser visto.

Si $r$ es un anillo elemento, a continuación, $\binom{n}{k}r$ se interpreta como la suma en el anillo de $\binom{n}{k}$ copias de $r$.

Answer 2

Aunque la expresión ${n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$ implica la división, que en realidad siempre se evalúa a ser un número entero (es decir, la cardinalidad del conjunto de $k$-elemento de subconjuntos de un conjunto con $n$ elementos). Así que en general anillo, ${n\choose k}$ sólo se refiere a que se entero de que el anillo (aunque la fórmula $\frac{n!}{(n-k)!k!}$ puede no tener sentido).

Answer 3

Si la división que te molesta, es posible usar una definición de los coeficientes binomiales que no implican dividiendo nada en absoluto. En particular, se puede utilizar la relación de recurrencia $$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$$ with the starting conditions $$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$$ como una definición (que por supuesto es sólo la forma matemática de la presentación de la construcción del triángulo de Pascal).