Derivada y la función constante

Question

Problema

Supongamos que $f:(a,b)\to\Bbb R$ es diferenciable y $f^\prime(x)=0$ $D$ donde $D$ es denso en $(a,b)$. Podemos concluir que el $f$ es una función constante?

De fondo

En el curso de cálculo, me han dicho que hay un teorema declaró al $D=(a,b)$. De hecho, es reducible. Por ejemplo, si $D=(a,b)\backslash C$ donde $C$ es en la mayoría de los contables, tenemos $f^\prime(x)=0$ todos los $x\in(a,b)$, porque si $k_0=f^\prime(x_0)\neq0$ algunos $x_0\in C$, hay algunos $\xi\in C$ tal que $f^\prime(\xi)=\eta$ todos los $0\le\eta\le k_0$, lo $C$ es incontable.

Answer 1

Hay un diferenciable en todas partes no-función constante tal que el conjunto de $Z=\{x: f'(x) = 0 \}$ es densa. El siguiente artículo proporciona un ejemplo de una función de este tipo:

Y. Katznelson y Karl Stromberg. En Todas Partes Diferenciables, Nada Monótona, Funciones. La American Mathematical Monthly , vol. 81, no. 4 (Abr., 1974), pp 349-354.

De acuerdo a este documento:

Ejemplos de estas funciones se dan rara vez, o incluso se mencionó, en los libros de análisis real. La primera construcción explícita de dicha función fue dado por Kopcke (1889). Un ejemplo, debido a la Pereno (1897) se reproduce en [1], pp 412-421.

...

[1] E. W. Hobson, la Teoría de Funciones de una Variable Real II, Dover, Nueva York, 1957

Answer 2

No se puede (pero no tengo el ejemplo).

Mira esta respuesta, donde se afirma que el conjunto de discontinuidades de un derivado puede ser denso y tienen muchas otras propiedades.