Es la plaza de la pirámide de un colector con esquinas?

Question

Un n-manifold con esquinas es topológicamente un n-manifold con frontera, pero con una suave estructura que hace localmente diffeomorphic a $[0,\infty)^n$ en lugar de $[0,\infty) \times \mathbb{R}^{n-1}$. Vea también:

• J. Lee, Introducción a la Suave Colectores (Capítulo 16, la Integración de los Colectores)
• D. Joyce, En colectores con esquinas (http://arxiv.org/abs/0910.3518)
• http://ncatlab.org/nlab/show/manifold+con+límite

El llenado del cubo es, naturalmente, una 3-variedad con las esquinas, con cada vértice tener un entorno que es diffeomorphic a un subconjunto de a $[0,\infty)^3$. No parece posible para mí que podemos hacer un mapa de un barrio en el vértice superior de llenado de la plaza de la pirámide de a $[0,\infty)^3$ ya que tiene cuatro caras adyacentes en lugar de tres.

Podemos concluir que el lleno de la plaza de la pirámide no es un colector con esquinas? Si sí, ¿cuál es el punto en la exclusión de este aparentemente útil de la estructura, por ejemplo una definición estricta?

Answer 1

Si hubo un diffeomorphism tomar (un barrio) en el vértice superior de la pirámide a un (comunidad de) el vértice en $[0,\infty)^3$, teniendo su derivada en particular de preservar la tangente de cono (el conjunto de los vectores de tangentes $v \in T_p M$ tal que $v = \gamma'(0)$ para algunos curva de $\gamma: [0,1] \to M$ $\gamma(0)$ el vértice). Si, por comodidad, hemos establecido el punto más alto de la pirámide $0 \in \mathbb R^3$, la tangente de cono de vértice superior de la pirámide es el conjunto de múltiplos escalares de los puntos de la pirámide; el cono tangente de los vértices del cubo es $[0,\infty)^3$. Así que hemos reducido esto a un problema de álgebra lineal: mostrando un isomorfismo lineal no puede tomar en el primer cono para la segunda. Pero, como usted predijo, un isomorfismo lineal conserva el número de caras de la tangente de cono. (Yo no quiero escribir los detalles, así que os dejo esto para usted.)

En cuanto a por qué no queremos incluir la pirámide: no he utilizado alguna vez colectores con esquinas mucho a mí mismo, así que sólo puedo especular, pero sospecho que es debido a que gran parte del interés que hay en a) el desarrollo de una teoría que funciona con simplices, por lo que podemos integrar a lo largo de las cadenas; y b) el desarrollo de una teoría que nos permita definir cobordisms entre colectores con límites. Tal cobordisms sería, cerca de la 'frontera', se parecen a $M \times I$ donde $M$ es un manifold con frontera; esto nos da el modelo local de $[0,\infty)^2 \times \mathbb R^{n-1}$. Ahora, vamos cobordisms entre estos, etc, de forma inductiva, diciendo que debemos desea incluir todos los modelos locales $[0,\infty)^k \times \mathbb R^{n-k}$. En hacer lo que nunca hemos realmente se necesita para tener las esquinas como la cima de una pirámide cuadrada.