Definimos
$$TM=\bigsqcup_{p\in M}T_PM$$
con una suave estructura retiró el mapa de proyección. Este es un punto clave. La tangente del paquete de la topología y suave estructura de la captura de algunos de los múltiples de la topología. Usted puede encontrar una fácil bijection $TM\leftrightarrow M\times\mathbb{R}^n$, pero no puede, en general, encontrar una fibra preservar diffeomorphism entre los dos espacios.
Cuando nos subestiman, se requiere que $F:TM\to M\times V$ ser no sólo un diffeomorphism pero un diffeomorphism que es un fiberwise isomorfismo. Una tangente bundle no es sólo un discontinuo de la colección de espacios vectoriales todos flotante de descuento en resumen mathland - hay más estructura que eso. Necesitamos dos cosas adicionales:
- un mapa de proyección $p:TM\to M$ teniendo un vector tangente a su punto de base, y que
- $M$ es cubierto por los vecindarios $U$ que obedecen a dos condiciones:
- $p^{-1}U$ es diffeomorphic a $U\times\mathbb{R}^n$ (es decir a través de $\phi_U$) de una manera que respete la proyección en $U$ ( $\pi_U\circ\phi_U = p$ ), y
- para dos de los vecindarios $U$$V$, hay una familia de espacio vectorial isomorphisms que rigen la transformación de las fibras: $$U\cap V\ni x\mapsto\theta_{UV}(x):\{x\}\times \mathbb{R}^n\to\{x\}\times\mathbb{R}^n$$ (where the first $\{x\}\times\mathbb{R}^n\subconjunto de U\times\mathbb{R}^n$ and the second $\{x\}\times\mathbb{R}^n\subconjunto de V\times\mathbb{R}^n$). Esta condición está en su lugar, de modo que cuando hacemos un cambio de coordenadas, la nueva fibra todavía tiene la estructura de un espacio vectorial.
Estos barrios se llama "local como banalizaciones;" son análogos a coordinar los barrios en un colector. (De hecho, un método de construcción de $TM$ es adecuada la necesidad de unir local como banalizaciones de una cubierta de coordinar los barrios.)
Para $F:TM\to M\times\mathbb{R}^n$ mundial de la decadencia, no sólo necesitamos que $F$ es un diffeomorphism, pero que $F$ conserva todos los de esta estructura. En particular, cuando se limita a un solo espacio de la tangente, $F$ debe ser un isomorfismo. Esto es mucho más fuerte que simplemente requieren $F$ ser un diffeomorphism entre el$TM$$M\times\mathbb{R}^n$.
El estándar contraejemplo en contra de la idea de que todos los tangente paquetes son trivializable es $T\mathbb{S}^2$. La "bola peluda" teorema afirma que no hay nonvanishing campo de vectores en $\mathbb{S}^2$. Usted puede ver esto desde la de Poincaré-Hopf índice teorema:
En cualquier cerrada suave colector $M$, para cualquier degenerada de campo vectorial $V$$M$, la característica de Euler
$$\chi(M) = \sum_{x\in\{\mbox{zeros of }V\}} \iota_v(x)$$
donde $\iota_v(x)$ es el índice de $v$$x$, el grado del campo de vectores cuando se limita a un pequeño círculo en torno a $x$ y normalizada.
Ahora es claro que $T\mathbb{S}^2$ no es trivializable: $\chi(\mathbb{S}^2) = 2$, y si hemos tenido una banalización, entonces tendríamos un nonvanishing campo vectorial, que obligaría a la característica de Euler a $0$.
De hecho, se puede ver a partir de esto mucho más que eso $T\mathbb{S}^2$ es nontrivializable: la característica de Euler es una obstrucción a la trivializability de la tangente paquete de un colector. En el fin de la tangente paquete que se trivializable, debemos ser capaces de encontrar $n$ global secciones que son un pointwise base para la tangente espacios. Cada una de estas secciones sería un nonvanishing vector de campo, lo que implica que la característica de Euler de la múltiple es $0$.
(Tenga en cuenta que, como Jason DeVito señala a continuación, un cero característica de Euler es necesaria pero no suficiente para una trivializable tangente paquete.)
Este es editado en respuesta a su intento de trivializar $T\mathbb{S}^2$. Vamos a ser un poco más concreto: representar a $\mathbb{S}^2$$\widehat{\mathbb{C}}$. Los gráficos son la identidad de $\widehat{\mathbb{C}}-\{\infty\}\to\mathbb{C}$, y la inversión de $\widehat{\mathbb{C}}-\{0\}\to\mathbb{C}$ donde $p\mapsto \frac{1}{p}$. (Definimos $\frac{1}{\infty}=0$). Tenga en cuenta que mapas de transición está dada por la inversión, $w = z^{-1}$.
Cada uno de estos barrios es una banalización de la $T\mathbb{S}^2$, por lo que en cada uno de ellos podemos representar con un vector tangente como $(v,z)$ donde $v$ es el vector e $z$ es el punto de base. Vamos a empezar con $\mathbb{C}$. Definir en este vecindario $F(v,z) = (v,z)$. Esta se ocupa del mapa de $F$ para todos los de $\widehat{\mathbb{C}}-\{\infty\}$.
Para extender hasta el infinito, necesitamos definir $F$$\widehat{\mathbb{C}}-\{0\}$, por lo que está de acuerdo con la definición que hemos dado en $\mathbb{C}$. Tenga en cuenta que el diferencial de la transición de la función de $\frac{1}{z}$$\frac{-1}{z^2}$. Para cada $w\in\widehat{\mathbb{C}}-\{\infty\}$, tenemos que definir el $F(v,w) = (\frac{-v}{w^2},w^{-1})$, de modo que es bien definido bajo cambios de coordenadas.
Ahora bien, ¿cómo debemos definir los $F(v,\infty)$? Vemos el problema: vamos a tener a la mapa $(v,\infty)\mapsto 0$ a fin de $F$ ser continua en $\infty$. Esto previene $F$, pasando de ser un isomorfismo en $T_\infty\widehat{\mathbb{C}}$, por lo que no es posible utilizar este método para trivializar $F$. (De hecho, no es posible por razones discutidas anteriormente).
