¿A dónde va la energía en la interferencia destructiva?

Question

He leído que cuando dos ondas de luz interfieren destructivamente, la energía que contienen se transfiere a otras partes de la onda que han interferido constructivamente. Sin embargo, tengo algunos problemas para entender esto.

Mientras que en experimentos como el de la doble rendija de Young, hay bandas brillantes visibles de mayor energía, me imagino que sería posible configurar las ondas de luz para que se propaguen linealmente de tal manera que las ondas interfieran sólo destructivamente y en absoluto constructivamente. ¿Es posible tal configuración? Y si es así, ¿hacia dónde se transfiere la energía de la onda?

Del mismo modo, ¿cómo se transfiere la energía de una parte de una onda que interfiere destructivamente a otra parte que interfiere constructivamente? Estas regiones pueden estar a varios metros de distancia en el caso de la luz de longitud de onda larga, y me parece extraño que la energía pueda viajar entre estas regiones potencialmente distantes y que no interactúan.

Answer 1

Cuando las ondas electromagnéticas se propagan sin pérdidas de energía, por ejemplo en el vacío, es fácil demostrar que la energía total se conserva. Véase, por ejemplo Sección 1.8 aquí .

De hecho, no sólo se conserva la energía total. La energía se conserva localmente, a través de la ecuación de continuidad $$\frac{\partial \rho_{\rm energy}}{\partial t}+\nabla\cdot \vec J = 0$$ Esto dice que siempre que la energía disminuye de un pequeño volumen $dV$ se acompaña del flujo de la misma energía a través de la frontera del pequeño volumen $dV$ y el actual $\vec J$ asegura que la energía aumentará en otros lugares. La ecuación de continuidad anterior se demuestra fácilmente si se sustituyen las expresiones correctas para la densidad de energía y el vector de Poynting: $$ \rho_{\rm energy} = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2+ \frac{B^2}{\mu_0} \right), \quad \vec J = \vec E\times \vec H $$ Tras la sustitución, el lado izquierdo de la ecuación de continuidad se convierte en una combinación de múltiplos de las ecuaciones de Maxwell y sus derivadas: es cero.

Estas consideraciones funcionan incluso en presencia de superficies reflectantes, por ejemplo, los metales que se utilizan para construir un experimento de doble rendija. Se deduce que si un pulso electromagnético tiene algo de energía al principio, la energía total obtenida como la integral $\int d^3x \rho_{\rm energy}$ será la misma al final del experimento, independientemente de la disposición detallada del experimento de interferencia.

Si hay mínimos de interferencia, siempre van acompañados también de máximos de interferencia. La ley de conservación que hemos demostrado anteriormente lo garantiza. De hecho, se puede rastrear a través de la densidad de energía y la corriente, el vector de Poynting, cómo se transfiere la energía desde los mínimos hacia los máximos.

Imaginemos que al principio tenemos dos paquetes de una determinada área de sección transversal que se mantendrá fija y la única componente no nula de $\vec E$ va como $\exp(ik_1 x)$ (y se localiza dentro de un rectángulo en el $yz$ avión). Interfiere con otro paquete que va como $\exp(ik_2 x)$ . Como el valor absoluto es el mismo, la densidad de energía proporcional $|E|^2$ es $x$ -independiente en ambas ondas iniciales.

Cuando interfieren, obtenemos $$\exp(ik_1 x)+\exp(ik_2 x) = \exp(ik_1 x) (1 + \exp(i(k_2-k_1)x) $$ La fase general es irrelevante. El segundo término puede escribirse como $$ 1 + \exp(i(k_2-k_1)x = 2\cos ((k_2-k_1)x/2) \exp(i(k_2-k_1)x/2)$$ La fase final (exponencial) puede ignorarse de nuevo, ya que no afecta al valor absoluto. Se ve que la onda interferida compuesta por las dos ondas ordinarias va como $$ 2\cos ((k_2-k_1)x/2) $$ y su cuadrado va como $4\cos^2(\phi)$ con el mismo argumento. Ahora bien, lo curioso del coseno al cuadrado es que el valor medio sobre el espacio es $1/2$ porque $\cos^2\phi$ oscila armónicamente entre $0$ y $1$ . Por tanto, el valor medio de $4\cos^2\phi$ es $2$ , exactamente lo que se espera de la suma de la energía de dos haces iniciales, cada uno de los cuales tiene la densidad de energía unitaria en la misma normalización. (La energía total debe multiplicarse por $A_{yz} L_x\epsilon_0/2$ : el factor habitual de $1/2$ La permitividad, el área en el $yz$ -y la longitud del paquete en el plano $x$ -dirección, pero estos factores son los mismos para los estados iniciales y finales).

Por último, permítanme añadir unas palabras que explican intuitivamente por qué no se puede organizar un experimento que sólo tenga mínimos de interferencia (o sólo máximos de interferencia, si se quiere duplicar la energía en lugar de destruirla, lo que podría ser más útil). Para que la interferencia sea puramente destructiva en todas partes, los haces interferentes iniciales tendrían que tener fases muy sincronizadas prácticamente en cada lugar de la placa fotográfica (o estrictamente). Pero eso sólo es posible si los haces vienen casi de la misma dirección. Pero si vienen de (casi) la misma dirección, no podrían haberse dividido un momento antes, por lo que no podría haber sido un experimento con la interferencia de dos haces independientes. Los haces podrían haber sido independientes y haberse separado un tiempo más largo antes. Pero si los haces comenzaron un tiempo más largo antes de eso, todavía se extenderían a un área más grande en la placa fotográfica y en esta área más grande, las fases de los dos haces se negarían de nuevo a estar sincronizadas y en algún lugar de la placa, encontrarías tanto mínimos como máximos, de todos modos.

El argumento del párrafo anterior tiene una interpretación sencilla en el problema análogo de la mecánica cuántica. Si hay dos paquetes de onda de la función de onda para la misma partícula que están espacialmente aislados y listos para interferir, estos dos términos $\psi_1,\psi_2$ en la función de onda son ortogonales entre sí porque sus soportes no se superponen. La evolución de las funciones de onda en la mecánica cuántica es "unitaria", por lo que preserva los productos internos. Por lo tanto, cualquier cosa que evolucione a partir de $\psi_1,\psi_2$ también serán ortogonales entre sí, aunque los paquetes de ondas evolucionadas ya no se superpongan espacialmente. Pero esta ortogonalidad es exactamente la condición para $\int|\psi_1+\psi_2|^2$ para no tener términos mixtos y ser simplemente igual a $\int|\psi_1|^2+|\psi_2|^2$ . El caso de las ecuaciones clásicas de Maxwell tiene una interpretación diferente - es la densidad de energía y no la densidad de probabilidad - pero es matemáticamente análogo. La "ortogonalidad" correctamente definida entre los dos paquetes está garantizada por la evolución y equivale a la condición de que la fuerza total de la interferencia destructiva es la misma que la fuerza total de la interferencia constructiva.

Answer 2

Me imagino que es posible configurar las ondas de luz para que se propaguen se propaguen linealmente de manera que las ondas interfieran sólo destructivamente y en absoluto constructivamente.

Esto es posible, si las dos ondas de luz están exactamente desfasadas entre sí, de modo que los picos de una corresponden a la depresión de la otra. Pero si las dos ondas se produjeran de tal manera, y se superpusieran en la fuente sería lo mismo que crear una onda con amplitud cero.

Pero si los superpones en algún momento posterior, entonces habrá siempre ser una interferencia constructiva y destructiva. La energía no se transporta literalmente de las franjas oscuras a las brillantes. Más bien, dado que la amplitud de las franjas brillantes es el doble de la de las ondas originales, no hay violación de la conservación de la energía. Pensar en el "transporte de energía" es sólo una visualización útil para asegurarse de que la energía se conserva realmente.