¿Por qué algunos números de Fibonacci aparecen en una aproximación $e^{\pi\sqrt{163}}$?

Question

Es bien conocido que,

$e^{\pi\sqrt{43}} \approx 960^3 + 743.999\ldots$

$e^{\pi\sqrt{67}} \approx 5280^3 + 743.99999\ldots$

$e^{\pi\sqrt{163}} \approx 640320^3 + 743.999999999999\ldots$

No tan conocido es,

$e^{\pi\sqrt{43}} \approx (5x_1)^3 + 6.000000010\ldots$

$e^{\pi\sqrt{67}} \approx (5x_2)^3 + 6.000000000061\ldots$

$e^{\pi\sqrt{163}} \approx (5x_3)^3 + 6.000000000000000034\ldots$

donde $x_i$ es el adecuado raíz de la sextics,

$5x^6-960x^5-10x^3+1 = 0$

$5x^6-5280x^5-10x^3+1 = 0$

$5x^6-640320x^5-10x^3+1 = 0$

Uno puede ver el j-invariantes (o, al menos, de sus raíces cúbicas) aparezca de nuevo. Estos sextics se pueden resolver en los radicales, factoring más de $Q(\sqrt{5})$. Sin embargo, más interesante campo es de $Q(\phi)$, con la proporción áurea $\phi = (1+\sqrt{5})/2$. Por lo tanto, estos sextics relevante cúbicos factor,

$5x^3 - 5(53+86\phi)x^2 + 5(\color{blue}{8}+\color{blue}{13}\phi)x - (\color{red}{18}+\color{red}{29}\phi) = 0$

$5x^3 - 20(73+118\phi)x^2 - 20(\color{blue}{21}+\color{blue}{34}\phi)x - (\color{red}{47}+\color{red}{76}\phi) = 0$

$5x^3 - 20(8849+14318\phi)x^2 + 20(\color{blue}{377}+\color{blue}{610}\phi)x - (\color{red}{843}+\color{red}{1364}\phi) = 0$

respectivamente. Comparar la x plazo con los números de Fibonacci,

$F_n = 0, 1, 1, 2, 3, 5, \color{blue}{8, 13, 21, 34}, 55, 89, 144, 233, \color{blue}{377, 610},\dots$

y el término constante con los números de Lucas,

$L_n = 2, 1, 3, 4, 7, 11, \color{rojo}{18, 29, 47, 76}, 123, 199, 322, 521, \color{red}{843, 1364},\dots$

¿Por qué, oh, por qué?

P. S. Estos pueden ser fácilmente verificado en Mathematica usando la Resultante de[] de la función,

Resultante[$5x^3 - 5(53+86\phi)x^2 + 5(8+13\phi)x - (18+29\phi)$, $\phi^2-\phi-1$, $\phi$]

que elimina $\phi$ y restaura el original sextic. (Lo mismo para las otras dos).

Answer 1

Resolver $5x^6-Ax^5-10x^3+1$ y que $A=5x-\frac{10}{x^2}+\frac{1}{x^5}$

Resolver $A^3+744 = (5x)^3+6$ y que $A=(125x^3-738)^{\frac13}$

Estos son casi iguales como $x\rightarrow\infty$. De hecho, si la diferencia es de $D(x)$, entonces tomando la serie de taylor de $D(\frac1y)$ todo $y=0$ da $D(x)=-\frac{4}{25x^2}+\frac{63641}{3125y^5}+\dots$

Esto resuelve la mitad de su misterio.

Answer 2

Como se describe en mis comentarios a Tito a publicar en

https://groups.google.com/group/sci.math.research/browse_thread/thread/3d24137c9a860893?hl=en&pli=1

aproximaciones puede ser re-escrita como:

exp(Pi*sqrt(19+24*n)) =~ (24*k)^3 + 31*24

lo que da 4 (cuatro) "casi entero" soluciones:

1) n=0, k= 4 ;

2) n=1, k= 40 ;

3) n=2, k= 220 ;

4) n=6, k = 26680 ; -esto, por supuesto, es el caso de Ramanujan constante vs su entero contraparte aproximación

Tenga en cuenta que 960, 5280, 640320

se mencionó en la pregunta original, publicado aquí por Tito

están relacionados con los casos anteriores, 2), 3), 4)

960=24*40, 5280=220*40, 640320=24*26680

Así, del mismo modo, el caso 1), que es

exp(Pi*sqrt(19))

también podría ser incluido en la nueva representación

con la ecuación

5*x^6-96*x^5 a 10*x^3+1=0

que raíz

x ~= 19.2054...

también satisface

exp(Pi*sqrt(19)) ~= (5*x)^3 + 6

Así que posiblemente la solución de raíz de

5*x^6-96*x^5 a 10*x^3+1=0

también podría ser presentado durante la "golden ratio" ?

También tenga en cuenta que si para ampliar

exp(Pi*sqrt(b(n)))

para más valores b(n) = {19, 25, 43, 58, 67, 163, 232, ...}

a continuación, la expresión

(exp(Pi*sqrt(b(n))))/m

(donde m es entero 1 o 8 )

los rendimientos de los valores se encuentran muy cerca de todo valor entero :

Tenga en cuenta que las primeras diferencias de b(n) son todos divisibles por 3, dando después de la división:

{2, 6, 5, 3, 32, 33, ...}

Tenga en cuenta también que

exp(Pi*sqrt(19+24*k))=

=exp(Pi*sqrt(19+24*(4^(k-2)*Pochhammer[1/2,k-2])/Pochhammer[1,k-2]))

para k={1,2,3,4}

y que los coeficientes de x^5 para el sextics dado anteriormente en la pregunta por Tito

podría ser derivado de

resolver n=floor(exp(Pi/3*sqrt(19+24*(4^(k-2)*Pochhammer[1/2,k-2])/Pochhammer[1,k-2]))),{k=1,2,3,4}