¿Por qué necesitamos de Hausdorff-ness en la definición topológica del colector?

Question

Supongamos $M^n$ es topológico, colector, a continuación, $M^n$ localmente se parece a $\mathbb{R}^n$. $M^n$ es localmente Hausdorff, ya $\mathbb{R}^n$ es Hausdorff y Hausdorff-ness es un invariante topológico.

Todo lo que quiero entender es:

1) ¿ localmente Hausdorff-ness implica Hausdorff-ness? (No me puedo imaginar un local topológico de Hausdorff espacio que no es globalmente Hausdorff)

2) ¿por Qué necesitamos Hausdorff-ness en la definición de la topológico colector? Es localmente Hausdorff-ness no es suficiente? Si no, ¿por qué?

Cualquiera puede decir cualquier cosa que pudiera ser útil?

Answer 1

Hay no-espacios de Hausdorff localmente Euclídeo; algunas personas incluyen en la clase de colectores, y algunos prefieren excluir, por que requieren de un colector para ser Hausdorff. La línea con dos orígenes es un simple ejemplo de un no-Hausdorff múltiple: es Hausdorff localmente, ya que tiene una base de abrir conjuntos de homeomórficos a $(0,1)$, pero los dos orígenes no pueden ser separados por distintos bloques abiertos.

Answer 2

Conozco a tres razones principales por las que requieren de colectores para ser Hausdorff (y 2ª contables):

1. Hacer una clasificación de 1 dimensiones de los colectores posible. Sin dicha clasificación, la clasificación (o incluso la comprensión) colectores en las dimensiones superiores es bastante desesperado.

2. A uno le gustaría ser capaz de integrar los colectores en algunos de mayores dimensiones Euclidianas espacios. De nuevo, sería imposible sin necesidad de ambas condiciones.

3. La teoría de los colectores no vienen de la nada, sus orígenes se encuentran en análisis (principalmente el análisis complejo y la geometría diferencial. Riemann primer definida de Riemann superficies utilizando varios valores compleja de las funciones analíticas, ya que él estaba interesado en hacer sentido de esas. Más tarde, hace unos 100 años, Weyl dio la primera definición rigurosa de un resumen del colector, de nuevo en el contexto de superficies de Riemann. Desde las superficies de Riemann fueron la motivación principal, que él requiere de ellos para ser 2º contables y Hausdorff. Entonces, creo yo, el diferencial de los geómetras se subió al carro, ya que se dio cuenta de que Weyl dio una definición que sirve perfectamente bien. Mucho más tarde, se dieron cuenta de que hay escenarios naturales donde uno debe debilitar "Hausdorfness", tales generalizaciones fueron principalmente motivados por la teoría de foliaciones (y, tal vez la mecánica cuántica, pero estoy seguro acerca de esto).

Answer 3

Un autor que explícitamente se evita asumir la propiedad de Hausdorff es Serge Lang, "Fundamentos de la geometría diferencial", Springer, 1999, 2001. En los Capítulos II y II, él no asume Hausdorff. Introduce la condición al principio del Capítulo IV. Él dice:

Vemos ninguna razón para suponer que $X$ es de Hausdorff. Si queríamos $X$ a ser Hausdorff, tendríamos que colocar una separación condición en la cubierta. Esto no juega ningún papel en el desarrollo formal en los Capítulos II y III.

Es bastante claro en la literatura que la razón para la asunción de Hausdorff es porque siempre es verdadero inmersas e inmersos colectores, y eso es lo que la geometría diferencial fue en sus primeras décadas. Si usted no tiene esta condición, hace posible no sólo la "línea con dos orígenes". Usted también puede tener dos unidad cerrada intervalos de $[0,1]$, por ejemplo, y un conjunto de Hilbert espacios de la unidad de intervalos si te gusta, y usted puede tener cualquier número de "foliaciones" de las líneas individuales que iban a crear grandes complicadas redes de líneas. Y, a continuación, en $n$-dimensiones de los espacios, se puede obtener una asombrosa variedad de espacios con topológicamente cerrado las regiones que contienen "burbujas", y en el espacio-tiempo, usted puede conseguir las burbujas de apertura y cierre en la asombrosa complejidad de las formas a través del tiempo.

Se puede considerar que no Hausdorff colectores como una gran oportunidad para construir modelos físicos que se han mezclado los estados en el quantum sentido, o se puede considerar como una pesadilla para evitarse si todo lo que quiero hacer es la geometría de colectores embedded/inmersos en Euclidiana espacios.

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PS. 2015-8-23.
Uno más de los muy poco acerca de este problema.
Es bastante obvio que no se puede metrize no Hausdorff colector. Lo que no es tan evidente es que es difícil incluso pseudometrize. Yo estaba pensando que usted puede poner una pseudometric en la "línea real con dos orígenes" por dejar que la distancia entre los dos orígenes igual a cero. Sin embargo, hay una manera muy fácil teorema que dice que cualquier pseudometric (es decir, una métrica que no requiere la igualdad de dos puntos si su distancia es igual a cero) debe ser una métrica si la topología es $T_0$. Pero cada localmente el espacio Cartesiano es $T_1$, lo que implica $T_0$. Por lo tanto, todos los no-Hausdorff localmente espacio Cartesiano no es metrizable y también no pseudometrizable. (Estoy asumiendo que el conjunto contiene más de un punto!)

Esto hace que estos espacios un tanto inútil para la geometría de Riemann. Usted puede poner diferenciable estructuras en ellos, y tal vez usted puede poner afín conexiones en ellos, pero el familiar métrica de Riemann no puede trabajar. (Cualquier afín conexión no sería una métrica de conexión para cualquier métrica.) Así que hay otra razón para rechazar la no-Hausdorff colectores.

Answer 4

Creo que la razón principal detrás de la hausdorffness condición en la definición topológica del colector es que uno debe ser capaz de hacer cálculos en los colectores. Más al punto, uno debe lidiar con secuencias convergentes en los colectores y aquí viene la necesidad de incluir el hausdorffness condición.