El Euclidiana Edificable Números son de gran importancia histórica. A grandes rasgos, estos son los números que nos puede producir, a partir de $0$$1$, mediante el ordinario de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división), así como tomar la raíz cuadrada de la no-números negativos.
Así, por ejemplo,
$$\frac{\sqrt{10-3\sqrt{2}}}{17}$$
es la Euclídea edificable.
La razón por la que son interesante es que están íntimamente relacionadas con el problema de ¿cuáles son los posibles construcciones geométricas por la regla y el compás. Por ejemplo, se ha demostrado (posiblemente por Gauss, sin duda por Wantzel) que el número de $\cos(20^\circ)$ no es Euclidiana edificable. Este fue el paso clave en la demostración de que la famosa y antigua problema de trisecting el general de ángulo no se puede hacer en general por la regla y el compás.
Al mismo tiempo, Wantzel demostrado que el número de $\sqrt[3]{2}$ no es Euclidiana edificable. Esto demuestra que el viejo problema de Duplicar el Cubo no es solucionable por la regla y el compás. (Se le da el lado de un cubo, y que se desea construir el lado de un cubo que tiene dos veces el volumen del cubo.)
Unos treinta años antes, Gauss había demostrado que la regular $17$-gon es la regla y el compás edificable, básicamente, mostrando que el número de $\cos(360^\circ/17)$ pertenece a la distancia Euclídea edificable clase de números.
Este fue el primer resultado de nuevo sobre Euclidiana constructibility de polígonos regulares desde la antigüedad griega. Supuestamente, fue la búsqueda de este resultado que hizo Gauss decidir concentrarse en las matemáticas, y no la filología.
Otra históricamente muy importante de la clase de números son el (complejo) los números que se obtienen por el uso ordinario de las operaciones de la aritmética, junto con $n$-th raíces para arbitrario enteros $n$. La comprensión de esta clase de números fue una idea clave en la prueba por Galois que no se da una "fórmula" para resolver ecuaciones de grado $5$. (Sobre $300$ años antes, se había demostrado por Cardano, y otros, que hay una fórmula general para resolver ecuaciones de grados $3$$4$). Por supuesto, la gente hubiera sabido cómo resolver ecuaciones cuadráticas por mucho más tiempo que eso.
Y luego hay infinitamente muchas extensiones de la noción de número. Usted puede encontrar el Surrealista Números de Conway interesante.
