Declaración sobre los divisores de polinomios y sus raíces

Question

Soy un estudiante de 10mo grado y hay una frase en mi libro de matemáticas

Si $a$ es una raíz del polinomio $f(x)$ $(x-a)$ es un divisor de a $f(x)$

¿Por qué es $(x-a)$ es un divisor de a $f(x)$? Puede usted por favor decirme?

Answer 1

Es una gran cosa que usted siente curiosidad por los motivos de las declaraciones a las que se les enseña a usted!

Para esto, usted tiene que saber un poco acerca de la división larga de polinomios. Como enteros, podemos dividir polinomios, obteniendo un cociente y un resto. Más precisamente:

Dado cualquier polinomios $f$$g$, existen polinomios $q$ (el cociente) y $r$ (resto) tales que $$f = q\cdot g + r$$ and the degree of $r$ is strictly smaller than the degree of $g$.

Ahora, trata de demostrar su teorema. En primer lugar, asumir que $a$ es una raíz de $f(x)$, $g(x) = x-a$ y aplicar la división larga (estoy seguro de que puede hacerlo). El procedimiento es el siguiente, pero trate de hacerlo por ti mismo en primer lugar.

Si aplicamos la división larga, consigue $q$ $r$ tal que $f = q\cdot (x-a) + r$ $r$ tiene el grado $0$ (por qué?), por lo $r$ es una constante. Desde $f(a)=0$, llegamos $0=f(a)=q(a)\cdot (a-a) + r = 0 + r = r$, lo $r=0$ y, por tanto,$f = q\cdot (x-a)$.

La otra dirección es aún más fácil: si $f(x) = q(x)\cdot(x-a)$, que se puede ver por qué $f(a)=0$?

Answer 2

Vamos $$ f (x)=a_n x^n+... +a_1 x+a_0 $$ Supongamos $ f (r)=0$. Por lo tanto $$ a_n r^n +... + a_1 r +a_0 =0$$

Entonces $$ f (x)=a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 - ( a_n r^n +... + a_1 r +a_0) $$

puesto que la expresión entre paréntesis es cero.

Después de la reorganización,

$$ f (x) = a_n (x^n - r^n) + ... + a_1 ( x-r) $$ Tenga en cuenta que $$ b^n - t^n= (b-t)(b^{n-1} + b^{n-2} t+... + b t^{n-2}+ t^{n-1})$$ (usted puede comprobar?) Por lo tanto $$\begin{align} f (x)&= a_n (x-r)(x^{n-1}+...+r^{n-1})+...+a_1 (x-r)\\&= (x-r)(a_n (x^{n-1}+...+r^{n-1})+...+a_1) \end{align}$$ Por ejemplo, supongamos que $$ f (x)= a_2 x^2+a_1 x + a_0 $$ y $ f (r)=0$. Por lo tanto $$\begin{align} f (x) &= a_2 x^2 + a_1 x + a_0 - ( a_2 r^2 + a_1 r + a_0)\\&= a_2 (x-r)(x+r)+ a_1 (x-r)\\&= (x-r)(a_2 (x+r)+ a_1) \end{align}$$

Answer 3

Este es esencialmente el Factor Teorema, que es una consecuencia del Teorema del Resto

Si deja que el polinomio $f(x)$ ser representado como $f(x) = (x-a)Q(x) + R$, entonces usted se dará cuenta de que el resto $R = 0$ si y sólo si $f(a) = 0$ ($a$ es una raíz de $f(x)$). En este caso, el polinomio puede ser representado por $f(x) = (x-a)Q(x)$ y, por tanto, $f(x)$ es divisible por $(x-a)$.

Answer 4

Recordar el teorema de factor de polinomios. $$f(x) = (x-a) q(x) + r$$ donde $r = f(a)$.