La prueba de un básico $AC_\omega$ equivalencia

Question

En Wikipedia se menciona que "... con el fin de demostrar que cada acumulación punto de $x$ de un conjunto $S\subseteq \mathbf R$ es el límite de alguna secuencia de elementos de $S\setminus \{x\}$, uno de los usos (una forma débil de) el axioma de contables elección. Cuando formulado para la acumulación de puntos de arbitrario métrica espacios, la declaración se convierte en equivalente a $AC_\omega$. ..."

He Herrlich de papel de la "Elección de los principios elementales de topología y análisis", donde en el teorema 2.4. se afirma que estos son de hecho equivalentes. Entonces miré la referencia de la cita, [4], que son de Bentley H. L., Herrlich H., Contables elección y pseudometric espacios que no contienen la prueba y [14] Herrlich H., Steprans J., la Máxima filtros, la continuidad y la elección de los principios. tampoco contienen la prueba, de ahí mi pregunta:

Donde puedo ver una prueba de

"si $S$ es un conjunto en un espacio métrico $X$ con la acumulación punto de $s$ entonces existe una secuencia $s_n$ $S$ convergentes a $s$" $\implies$ $AC_\omega$

? (la otra implicación es claro para mí). Gracias.

Answer 1

La prueba no aparece en los Herrlich y Steprans de papel. Es la combinación de proposiciones 4 y 5.

El primer paso es demostrar que $\sf AC_\omega$ es equivalente a la siguiente declaración:

Para cada secuencia no vacía de conjuntos de $(X_n)$ existe una estrictamente monótona de la función $\sigma\colon\Bbb{N\to N}$$\prod\limits_{n\in\Bbb N}X_{\sigma(n)}\neq\varnothing$.

Obviamente $\sf AC_\omega$ implica esta condición, para ver la implicación inversa, supongamos que esta declaración es verdadera, tome $A_n=\prod\limits_{i=0}^n X_n$, estos no son vacía de conjuntos. Y el $\sigma$ que existe testimonio $\prod_{n\in\Bbb N}A_{\sigma(n)}$ define una selección de $X_n$'s, mediante la adopción de $(a_n)$ donde$a_n\in A_{\sigma(n)}$,$a_n=(x_0^n,\ldots,x_{\sigma(n)}^n)$. Desde $n\leq\sigma(n)$ todos los $n$, se puede definir la secuencia de $(x_n^n)$ como una opción de la $X_n$'s. $\square$

La segunda propuesta es esta:

Proposición 5. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. $\sf AC_\omega$.
2. Para cada espacio métrico $A$, los siguientes son equivalentes:
   1. $x$ es un punto de acumulación de a $A$.
   2. Existe una secuencia $(a_n)$$A$$a_n\to x$.
3. Para las asignaciones de $f$ entre espacios métricos los siguientes son equivalentes:
   1. $f$ es continua.
   2. $f$ es secuencialmente continua.

Claramente $\sf AC_\omega$ implica que los otros dos equivalencias. Y son equivalentes a sí mismos, (3) implica (2) tomando la identidad de la función, y (2) implica (3) debido a la falta de (3) es en realidad el fracaso de (2).

Tan sólo tenemos que demostrar que (2) implica $\sf AC_\omega$. Esto se realiza de la siguiente, tome $(X_n)$ a ser una secuencia no vacía de conjuntos, vamos a $X$ ser el siguiente conjunto, $$X=\{\infty\}\cup\bigcup_{n\in\Bbb N}\Big(X_n\times\{n+1\}\Big),$$ junto con la métrica:

$$\Big(\langle x,n\rangle,\langle y,m\rangle\Big)=\begin{cases}\frac1n & n=m\\\left|\frac1n-\frac1m\right|& n\neq m\end{casos}\\ d\Big(\langle x,n\rangle,\infty\Big)=d\Big(\infty,\langle x,n\rangle\Big)=\frac1n\\ d(\infty,\infty)=0$$

Desde $\infty$ es claramente un punto de acumulación de a $A=X\setminus\{\infty\}$, por nuestra suposición de que hay una secuencia $a_n\to\infty$, y podemos suponer sin pérdida de generalidad, que el orden es estrictamente decreciente (en sus distancias que es). Deje $\sigma$ ser la única función que $a_n\in X_{\sigma(n)}\times\{\sigma(n)+1\}$. Esto define claramente un parcial de elección como en la proposición anterior, por lo $\sf AC_\omega$ mantiene. $\square$