Así, la categoría de esquemas afines es dual a la categoría de anillos conmutativos, los espacios de Stone son duales a las álgebras booleanas, los espacios medibles localizables son duales a las álgebras de Von Neumann conmutativas, y estoy seguro de que hay muchos más ejemplos. En general, una categoría de estructuras algebraicas va a ser dual de alguna categoría relacionada de estructuras geométricas.
Mi pregunta es, entonces: ¿existe una historia análoga para las coalgueras? Si tomo una categoría de álgebras para alguna comónada y le doy la vuelta a las flechas, ¿obtendré algo interesante? ¿Existen buenos ejemplos de esto sobre comónadas conocidas (por ejemplo, la comónada de las costas)?
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"En general, una categoría de estructuras geométricas va a ser dual a alguna categoría relacionada de estructuras algebraicas". - No. Por ejemplo, la categoría de esquemas (o la categoría de manifiestos) no tiene una categoría dual algebraica razonable. Es viceversa: a menudo, partiendo de una categoría algebraica, el dual resulta ser geométrico "afín". (Sea lo que sea que esto signifique).
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Las álgebras (conmutativas) son espacios formales. No se trata de una dualidad: la correspondencia es covariante y no contravariante.
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@MartinBrandenburg Gracias voy a cambiar la pregunta para reflejar eso.