$w^4+(w')^2 = g(t)$

Question

Tengo una pregunta acerca de una de primer orden no lineal de ecuaciones diferenciales. He intentado muchas método para resolver este problema, pero todavía no ha tenido éxito. Aquí está mi pregunta;

$$w^4 + (w')^2 = g(t)$$

$$w' = \left[g(t)- w^4\right]^{0.5}$$

He tratado de runge kutta de 4º orden y 4-5 adaptativa tamaño de paso y efectivo de la carpa de los métodos hasta ahora, yo creo que son muy buenos métodos para resolver este IVP, pero aún no se dan valores esperados para algunos lugares.

¿Otras sugerencias para solucionar esto? Gracias de antemano

Answer 1

OK, aquí están algunos (desagradable, pero al parecer correcto) observaciones. Todavía estamos tratando de solucionar $w^4+\dot w^2=H$ en tiempo real. Yo también voy a suponer que usted desea $w\ge 0$, es decir, usted no desea cambiar la dirección de su rotación en el proceso. Tenga en cuenta que permitir el cambio de dirección no será de mucha ayuda en el sentido de que la conclusión final será el mismo pero el argumento se involucren más.

Recordemos (ver mi AoPS post) que invariante cantidades se $\dot H/H^{5/4}$$\ddot H/H^{3/2}$. Supongamos que queremos crear un control satisfactorio $w^4+\dot w^2\in [(1-\delta)H,(1+\delta)H]$ para todos los regímenes de $H$. Supongamos que el piloto no está permitido cambiar de $H$ o $\dot H$ abruptamente, sino que él puede cambiar $\ddot H$ cualquier momento y en cualquier forma, dentro de unos límites razonables, por lo $\ddot H$ no necesita ser continua. Yo creo que, esto es más o menos lo que ocurre en la realidad, pero si estoy mal me corrigen.

Observación 1. Ascendente regímenes son asintóticamente estable. Lo que significa es que si $H$ es ascendente cualquier régimen que se inicia en algún lejano momento momento $-T$ y es igual a una constante $H_0$ hasta el momento $0$ (vamos a llamar a tales regímenes canónica), entonces cualquier valor no negativo solución de la ecuación de $w^4+\dot w^2=H$ que está definida en todo el intervalo de $[-T,T]$ tiene esencialmente los mismos valores de $w(t),\dot w(t)$ como la solución canónica cuya condición inicial está dado por $w=H_0^{1/4}$$[-T,0]$.

Observación 2. Supongamos que $H$ es un canónica ascendente régimen y $w$ es la correspondiente solución canónica con $\dot w\ge 0$. Supongamos también que $w_1$ satisface $w_1^4+\dot w_1^2<H$$[-T,T]$. A continuación,$w_1\le w$. De hecho, claramente tenemos $w_1\le w$$[-T,0]$. Por otro lado, los gráficos nunca puede cruzar porque en el primer momento en el $w_1=w$, debemos tener $\dot w_1<\dot w$, así que un poco antes de que debemos tener $w_1>w$, lo que contradice la suposición de que nuestros cruce de momento es el primero.

Observación 3. Supongamos que $H$ es un canónica ascendente régimen y $w$ es la correspondiente solución canónica con $\dot w\ge 0$. Supongamos también que $c>0$ (puede ser arbitrariamente pequeño) y $w_1$ satisface $w_1^4+\dot w_1^2>(1+c)H$$[-T,T]$. A continuación, $w_1\ge w$ $[0,T]$ si $T>T(c)$. De hecho, tenemos $w_1(0)\approx (1+c)^{1/4}H_0^{1/4}>w(0)$. De nuevo, considere el primer cruce momento, si es que existe. En ese momento debemos tener $|\dot w_1|>\dot w$. Si $\dot w_1>0$, obtenemos la contradicción de la misma manera como antes. Sin embargo, si $\dot w_1<0$, $w_1$ debe continuar la cabeza hacia abajo y sus derivados sólo puede crecer en valor absoluto en ese proceso, hasta que la dirección se invierte por lo que esta situación corresponde a una prohibido régimen.

Observación 4. El tiempo en la ecuación es reversible, por lo que en lugar de investigar el descenso de los regímenes, se puede investigar el ascendente. La pregunta que nos pedirá será el siguiente. Tomar cualquier régimen canónico $H$. Supongamos que tenemos un inteligente control de la $v$ tal que $v(t)$ sólo depende de $H(s)$ $s\ge t$ (no hay suposiciones acerca de cómo se diseñó: la resolución de la educación a distancia, la escritura de algunos explícita fórmula, pidiendo a un oráculo, lo que sea). Todo lo que sabemos es que nuestro control no crea el error relativo de más de $\delta$ para cada régimen en cualquier lugar y que no se le permite ver el pasado (recordar que ahora es el momento de correr hacia atrás). ¿Qué podemos decir sobre el valor de $v(t)$ fijos $t>0$?

El problema es que ahora podemos pegar cualquier canónica régimen de $[-T,t]$ a que corregir los valores de $H(t)$ $\dot H(t)$ a la pieza que tenemos en $[t,T]$ $v(t)$ está determinado por pieza solo. Por lo tanto, $v(t)$ debe tener sentido para cualquier pieza de pegamento.

Observación 5. Deje que nos pegue una pieza canónica $H=w^4+\dot w^2$ $\dot w\ge 0$ $[-T,t]$ (tenga en cuenta que podemos elegir $w$ en lugar de elegir a $H$). A continuación, la solución de $(1+\delta)^{1/2}w$ nos dará un canónica régimen que es, al menos,$(1+\delta)H$. Del mismo modo, $(1-\delta)^{1/2}w$ nos dará un canónica régimen que está en la mayoría de las $(1-\delta)H$. Por lo tanto, nuestro inteligente de control debe satisfacer $(1-\delta)^{1/2}w(t)\le v(t)\le (1+\delta)^{1/2} w(t)$. Tenga en cuenta que debe mantener para cada admisible $w$. Ahora, probablemente, el olor de problemas: tenemos muchos diferentes $w$ a intentar y, si ellos no dan el mismo valor, la solución exacta es imposible. Por otra parte, si los valores pueden ser notablemente diferentes, $\delta$ no puede ser demasiado pequeño.

Observación 6. Todavía tenemos dos condiciones a satisfacer en $t$, lo que, en términos de $w$, puede ser escrito como $w^4+\dot w^2=H$, $2w^3\dot w(2+\psi)=\dot H$ donde $\psi=\ddot w/w^3$. Tenga en cuenta que tenemos 3 parámetros libres $w,\dot w,\ddot w$ y sólo 2 ecuaciones. Ahora queda encontrar las estimaciones cuantitativas de la libertad que tenemos. Con este fin, vamos a comparar la escala invariante cantidades $I=w^4/H$ para los dos regímenes con el mismo $\dot H/H^{5/4}$. Ya que el controlador me dio crea triste de los resultados de la cerca de la parte inferior de la onda coseno $2+\cos kt$$k>2$, va a ser una buena idea mirar en la "cuadrática salidas" del estado del suelo y calcular la máxima incertidumbre a lo largo del camino. Por razones técnicas, será conveniente buscar en $w(t)=1+at^2$, es decir, $H(t)=(1+at^2)^4+4a^2t^2$. El valor de $k=2$ corresponde a $a\approx 0.35$ aquí. Este régimen da el invariante de derivados cantidad $\frac{8at(1+at^2)^3+a}{[(1+at^2)^4+4a^2t^2]^{5/4}}$. Esto es para ser comparado con el tiempo/escala invariante régimen de $w(t)=b/t$, es decir, $H(t)=\frac{b^4+b^2}{t^4}$ con el invariante de derivados cantidad $\frac{4}{(b^4+b^2)^{1/4}}$. La relación de la correspondiente $I$-valores es $$ \frac{(1+a^2)^4(b^4+b^2)}{[(1+a^2)^4+4a^2t^2]b^4} $$ donde $b$ se determina a partir de la ecuación $$ b^4+b^2=\frac{[(1+a^2)^4+4a^2t^2]^{5}}{[8at(1+a^2)^3+a]^4} $$ Yo se lo dejo a usted para ejecutar una secuencia de comandos simple maximización de más de $t$ ($t=0.2$ ya le da algo a ser infeliz con $a\in(0,1)$) y proceder a la refundición de la correspondiente "inevitable relación de incertidumbre" en la $\delta$-valores. La tabla es como que:

$a=0.1, \delta=0.006$

$a=0.2, \delta=0.018$

$a=0.3, \delta=0.036$

$a=0.4, \delta=0.058$

$a=0.5, \delta=0.085$

$a=0.6, \delta=0.116$

$a=0.7, \delta=0.150$

$a=0.8, \delta=0.188$

$a=0.9, \delta=0.228$

Como se puede ver, en el "punto de ruptura" $a=0.35$, el error de $4\%$ $H$- perfil de aproximación es simplemente inevitable y mi controlador es acerca de que precisa. Si $a$ llega a $0.6$, que corresponde a $k=\sqrt{8(a+a^2)}=2.8$ en el coseno del modelo, usted va a ser $10\%$ off en algún lugar no importa lo que hagas. Así, la versión del problema que se intenta resolver es no sólo difícil, pero sin solución. Usted tiene que restringir la entrada a algo razonable y ser feliz con un aproximado de control. Sin embargo, usted puede tratar de investigar qué características de la corriente de control usted no le gusta y el diseño de un mejor control en algunos aspectos. Simplemente no pierda su tiempo tratando de lograr lo imposible :).

Answer 2

Fedja,

Voy a tratar de describir mi forma de resolver esta ODA con precisión tanto como puedo.

A continuación es el g ecuación que necesitamos. Para recordar el problema, voy a describir las variantes de nuevo. r representa el radio del movimiento circular, g representa la gravedad y son constantes.

$$G^2 = ((w^2)^*r/g)^2 + (dw/dt * r/g)^2 + 1 $$

Después de la sustitución de la w de Runge Kutta de 4º orden para la w en la ecuación anterior para obtener la deseada g, como usted sabe, yo no he tenido éxito sin embargo, para la disminución de comandos.

Después de muchos intentos, pensé que el problema es tangencial parte de la ecuación g, y por lo tanto he quitado dt de la ecuación anterior(nueva ecuación se muestra a continuación), y luego, he comparado la exacta g valores con los valores de g de la siguiente ecuación, el resultado es satisfactorio, y aún más allá.

$$G^2 = ((w^2)^*r/g)^2 + (dw * r/g)^2 + 1 $$

Después de conseguir un resultado satisfactorio de la ecuación anterior, decido tomar en cuenta el error en w.

$x = w(t) + error$

$dx = w(t) +error - w(t-1)$

$$(x^2*r/g)^2 + (dx/dt * r/g)^2 + 1 = (w^2*r/g)^2 + (dw * r/g)^2 + 1 $$ $$ x^4 + (dx/dt)^2 = w^4 + (dw )^2 $$

Después de resolver esta ecuación, alcanzar el error de la ecuación de cuarto grado. Como se puede imaginar después de algún resultado exitoso, raíces complejas de interrupción de este sueño.

Es allí cualquier manera de interpretar las complejas raíces? Pregunté esto porque, tengo muchas raíces complejas, como se muestra a continuación. $$ r1 = a+ib$$ $$r2 = a-ib $$ $$ error(t) = exp(a*t)[C1*cos(b*t)+C2*sin(b*t)] $$

C1 y C2 son constantes arbitrarias y por desgracia no pude seleccionar un buen valor para C1 y C2.

Qué piensa usted de esta manera es merecido para continuar o me volveré otra forma de solucionar?

Gracias,

Answer 3

A continuación es el resultado de la educación a distancia que he utilizado con el método de Runge Kutta de Efectivo-Karp(RKCK) con la adaptación de el tamaño de paso de método.

El azul es el $desiredG$, el verde es el $resultG$, el rojo es el $desiredG'$ y negro es el $resultG'$.

Como se puede ver, es muy bueno para los inicios, pero no podemos decir lo mismo para el desplazamiento.

Y, aquí está el resultado para la educación a distancia que usted ha preparado. color significados son los mismos que anteriormente. (tenga en cuenta que$dt$$0.1$, tiene un efecto en el resultado según mi experiencia)

Finalmente, ambos resultados parecen que casi el mismo para el g compensaciones. Sin embargo la aparición resultado es mejor cuando me he tomado el error(t) en cuenta en RKCK método.

Puede usted explicar otra vez por qué tenemos que usar la $\sqrt{dt}$ en lugar de $dt$ o paso diferente. Cuando me puse a $dt$ a $0.01$, $g$ los cambios en el tiempo de giro del ruidoso de datos como se muestra a continuación.

El último gráfico se refiere a cuando he cambiado el exacto G de solución. Cuando tangencial parte se multiplica con $dt^2$ y comparar los resultados que obtuve siguiente resultado. Muy buen desplazamiento de datos! Parece que DE puede resolver otro ecuación (error de la ecuación, pero al menos podemos utilizar como referencia de la función en el DE), como era de esperar. ¿Cómo podemos comparar estas dos ecuaciones y eliminar el error en omega? Voy a explicar cómo la función de error es creado a mí mismo.

error(t) de la ecuación es preparado como se muestra a continuación.

• $X =$ deseado $W$
• $W = $ calculada a partir de RK método
• $W_{\rm old} =$ omega en el segmento anterior
• $dt =$ tamaño de paso

$$ (X^2 \textrm{radius}/\textrm{gravity})^2 + ((X-W_{\rm old}/dt)*\textrm{radius}/\textrm{gravity})^2 + 1 \\ = (W^2\textrm{radius}/\textrm{gravity})^2 + ((W-W_{\rm old}/dt)*\textrm{radius}/\textrm{gravity})^2 dt^2 + 1 $$

podemos eliminar la radio y la gravedad de la ecuación, la nueva ecuación es la siguiente

$$ X^4 + ((X-W_{\rm old}/dt)^2 = (W^4 + (W-W_{\rm old})^2 + 1 $$

Se da de nuevo y de nuevo raíces complejas mismo como la solución de G de la ecuación :)

Aquí es otro resultado cuando me multiplicado omega, con una constante de error(t), creo que este constante aumento de la w y evitar generar nuevos complejos de raíz para el próximo 15 de punto. De todos modos se puede resolver de desplazamiento muy buena pero algunos puntos (casi 15 puntos, pero después de cambiar el valor de la constante en el conteo de puntos se reduce a 5-6). Voy a seguir para reducir irresoluble puntos en los desplazamientos. Es allí cualquier manera de acabar con ellos en tiempo real. Creo que puedo eliminarlos mediante el uso de métodos de interpolación, crees que puede interpolación o extrapolación de los métodos que me ayude a reducir también en tiempo real?

A continuación se muestra cómo raíces complejas pueden ser calculados por error(t) de la función. Raíces complejas en el error(t) siempre forma como $a+ib$ y $a-ib$. $C_1$ y $C_2$ puede ser calculado con el uso de $W(t)$$W'(t)$. Sé que este camino es para la ecuación diferencial pero multipling con una constante es eliminar muchos lugares tiene un problema.

$$W(t) = e^{at} [C_1 \cos(bt)+ C_2 \sin(bt)]$$

$$W'(t) = a e^{at} [-bC_1\sin(bt)+ bC_2\cos(bt)]$$

Sé $W(t_0)$ $W'(t_0)$ en la ecuación anterior.

De todos modos, si usted cree que esta forma es la lógica, voy a dar más detalles sobre el error(t) de la función.

También estoy añadiendo el omega de datos(puntos rojos) con g data(puntos verdes) y deseada g datos(azul), para entender cómo omega y g datos se ven afectados cuando se multiplica omega de error(t) o anterior omega (da casi el mismo resultado) con un valor constante que reduce omega cuando las raíces complejas se ha producido. aquí la constante es de 0.94.

Déjeme saber si usted necesita más datos que los que se dan aquí. No he de mirar sus observaciones sobre la DE pero tengo la intención de comparar pronto. Gracias de nuevo.