Demostrando $a^ab^b + a^bb^a \le 1$, determinado $a + b = 1$

Question

Dado $a + b = 1$, Demuestran que, a $a^ab^b + a^bb^a \le 1$; $a$ $b$ son números reales positivos.

Answer 1

En primer lugar, un resultado: para cualquier $x,y$ no negativos reales, $\alpha + \beta = 1 $, luego

$$ x^{\alpha}y^{\beta} \leq \alpha x + \beta y $$

Para mostrar esto,$f(t) = (1 - \beta) + \beta t - t^{\beta} $. Mostrar esta función disminuye en $[0,1]$ y, a continuación, reemplace $t$$\frac{y}{x}$. Ahora, en cuanto a tu problema

Aviso por aplicación del resultado anterior podemos obtener su problema

$$ a^a b^b \leq a^2 + b^2 $$

$$ a^b b^a \leq 2ab $$

$$ \therefore, \qquad a^a b^b + a^b b^a \leq a^2 + b^2 + 2ab = (a +b )^2 = 1^2 = 1 $$

Answer 2

La ecuación de $(2)$ es lo mismo que Don Anselmo de la prueba, pero el resto es diferente.

Bernoulli la Desigualdad dice que para $0\le x\le1$ $$ \left(1+\frac{a-b}b\right)^x\le1+x\frac{a-b}b\etiqueta{1} $$ multiplicar por $b$ $$ un^ep^{1-x}\le xa+(1-x)b\etiqueta{2} $$ sustituto $x\mapsto1-x$ $(2)$ $$ a^{1-x}b^x\le (1-x)+xb\etiqueta{3} $$ agregar $(2)$ $(3)$ $$ un^ep^{1-x}+a^{1-x}b^x\le, a+b\etiqueta{4} $$ Desde $a+b=1$, $x=a$ $1-x=b$ $(4)$ $$ ^ab^b+a^bb^a\le1\etiqueta{5} $$

Answer 3

A partir de una expresión algebraica punto de vista, reemplazar "b" por "1 - a" en el lado izquierdo de la desigualdad. Usted tiene un desagradable función de "a", pero es viable. La derivada cancela en tres valores de "a", 0.118007, 0.5 , 0.881993. El máximo de la función corresponde a la mitad de la raíz (esto se puede comprobar mediante la segunda derivada de la prueba de convexidad) y, para a=1/2, el valor máximo de la función es igual a 1.