Cómo encontrar esta secuencia de Fibonacci suma $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{F_{2^k}}$

Question

vamos secuencia $\{F_{n}\}$ tales $$F_{1}=1,F_{2}=1,F_{m+1}=F_{m}+F_{m-1},m\ge 2$$

Encontrar este valor

$$I=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{F_{2^k}}$$

Yo: sé que este

$$F_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n-\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n\right)$$

así

$$\dfrac{1}{F_{2^k}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{2^k}-\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2^k}}$$ así sólo encontramos esta suma $$I=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\sqrt{5}}{\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{2^k}-\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2^k}}$$

Pero no puedo.Gracias

Answer 1

De hecho, este es summable. Esto me sorprende, porque de resultados como los que en esta pregunta en MO, que en breve se explica cómo no sabemos si la suma de los recíprocos de todos los números de Fibonacci es trascendental, y otros relacionados con el desconocido resultados.

Esta pregunta se reduce a la siguiente:

Reclamo: $\displaystyle \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} + \frac{1}{F_4} + \ldots + \frac{1}{F_{2^n}} = 3 - \frac{F_{2^n-1}}{F_{2^n}}$$n \geq 2$.

Prueba: Inducción, y el uso de $F_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n-\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n\right)$ como usted menciona. $\diamondsuit$

A continuación, tomar el límite de $n \to \infty$ para conseguir que

$$\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{F_{2^k}} = \frac{7-\sqrt 5}{2}.$$

Answer 2

vamos $$a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Longrightarrow \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=a^{-1}$$ así $$I=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{\sqrt{5}}{a^{2^n}-a^{-2^n}}$$ así que vamos a $$a^{2^n}=x$$ entonces $$\dfrac{1}{a^{2^n}-a^{-2^n}}=\dfrac{x}{x^2-1}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{a^{2^n}-1}-\dfrac{1}{a^{2^{n+1}}-1}$$ así \begin{align*}I&=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{\sqrt{5}}{a^{2^n}-a^{-2^n}}=\sqrt{5}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{a^{2^n}-1}-\dfrac{1}{a^{2^{n+1}}-1}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{\sqrt{5}}{a-1}-\dfrac{1}{a^{2^{n+1}}-1}\right)\\ &=\dfrac{\sqrt{5}}{a-1}\\ &=\dfrac{7-\sqrt{5}}{2} \end{align*}